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第9章

很显然,可以推广到N个人。随着刀子在烧饼上方移动,第一个喊“切”的人拿第一次切下的那块饼(或者把这块饼同时给喊“切”的几个人当中的任何一个人)。然后其余N-1个人重复以上步骤,这样一直进行下去,直到剩下两个人。最后剩的烧饼,两人可以像上例讲的办法那样来分,也可以继续用刀移动的办法来分。这个一般化的解题方法是用数学归纳来证明算法的一个很好范例,很容易看出,这种算法如何能应用于把一系列家务事分摊给几个人,并使得人人感到满意,觉得他分担的家务是公平合理的。

109

首先可以确定的是:E镇与A镇之间有电话线路,因为A镇同其他五个小镇都有电话线路。那当然包括E镇在内了。

其余的是哪两个小镇呢?

我们从B、C两个小镇开始推理。

设:B、C两小镇之间没有电话线路。那么,B、C两镇必然分别可以同A、D、E、F四个小镇通电话;

如果B、C两镇分别同A、D、E、F四个小镇通电话,那么,只有三条电话线路的D、E、F三个镇就只能分别同A、B、C三个镇通电话。

如果是这样,那么,在D、E、F之间是不能通电话的。

但是,已知D镇与F镇之间有电话线路,因此,B、C之间没有电话线路的假设是不能成立的。换句话说,B、C两小镇之间有电话线路。

那么,有四条线路的B镇和C镇又可以同哪些小镇通电话呢?

从以上的推理中得知:B镇、C镇分别同A镇有电话线路,而它们相互之间又没有电话线路。另外的两条线路是通向哪里的呢?

假设:B镇的另外两条线路一条通D镇,一条通F镇;C镇的电话线路也是一条通D镇,另一条通F镇,

如果这个假设成立,那么D镇、F镇就将各有四条线路通往其他小镇。但是,我们知道,D、F两镇都只同三个小镇有电话联系,所以,上述假设不能成立。

假设:B、C两镇同D、F镇之间都没有电话线路。

如果这个假设成立,那么,B、C两镇就只有三条线路同其他小镇联系,这又不符合B、C各有四条电话线路的已知条件。所以,以上的假设也不成立。

从以上的分析只能推出B、C两镇各有一条电话线路通向E镇。B镇的另一条线路或者通向D镇,或者通向F镇,C镇的另外一条线路或者通向D镇,或者是通向F镇。

而对于E镇来说,它肯定可以同A、B、C三个小镇通电话。

110

不管这条街上有多少户人家,聪聪总比早早多送八户人家的报纸。

111

只要取出三只袜子就行,因为其中至少有两只是同一颜色的。

手套的取法要略为麻烦一些,因为手套不但有颜色问题,还有左右的问题。至少要取出21只手套才能配成符合题意要求的一副。少于这个数目,哪怕取出20只,还有可能20只全是同一面的。例如10只白手套,10只花手套,都是左手的。

112

毫无疑问,这七位朋友经过若干天以后,有一个晚上在主人家里碰面。这一天追溯到第一位朋友开始访问的那个晚上,所经历的天数,一定能被2、3、4、5、6、7各数整除;换而言之,第一天与七个朋友碰面那一天,中间相隔的天数,应该是2、3、4、5、6、7各数的最小公倍数。不难求出这个数为420。每隔420天这七位朋友就将在主人家里碰面一次。

113

假设数为X,Y;和为X+Y=A,积为X·Y=B。

根据庞第一次所说的:“我肯定你也不知道这两个数是什么”。由此知道,X+Y不是两个素数之和。那么A的可能值为11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,95,97……

我们再计算一下B的可能值:

和是11能得到的积:18,24,28,30

和是17能得到的积:30,42,52,60,66,70,72

和是23能得到的积:42,60……

和是27能得到的积:50,72……

和是29能得到的积:……

和是35能得到的积:66……

和是37能得到的积:70……

我们可以得出可能的B为,当然了,有些数(30=5·6=2·15)出现不止一次。

这时候,孙依据自己的数比较计算后,“我现在能够确定这两个数字了。”

我们依据这句话,和我们算出来的B的集合,我们又可以把计算出来的B的集合删除一些重复数。

和是11能得到的积:18,24,28

和是17能得到的积:52

和是23能得到的积:42,76……

和是27能得到的积:50,92……

和是29能得到的积:54,78……

和是35能得到的积:96,124……

和是37能得到的积:

因为庞说:“既然你这么说,我现在也知道这两个数字是什么了。”那么由和得出的积也必须是唯一的,由上面知道只有一行是剩下一个数的,那就是和17积52。

那么X和Y分别是4和13。

114

1、按照提方案的顺序,分别设5个人为a、b、c、d、e

2、假设a和b都死了,只剩c、d、e;这种情况下,无论如何c和d一块也拿不到,甚至自己的生命都被操纵在e手里。

3、所以、b肯定没有死。

4、再来讨论a死了,只剩b、c、d、e的情况:因为b如果死了,c、d的生命就被e操纵,所以即使b一块也不给c、d,他们也非同意不可。所以如果a死了,结果就是100,0,0,0

5、所以,a只要知道自己死后的情况,就可以提出97,0,1,1,1的方案。

115

从大到小:

1、A 男

2、B 男

3、C 女

4、D 女

5、E 女

6、F 男

7、G 男

116

当时上午,个子稍高的是姐姐嘉利。

我们可以用假设法来解此题。

设:当时是下午。

如果当时是下午,那么嘉利是说假话的,珍妮是说真话的,因此当看守问“你们当中哪个是嘉利”时,无论稍高的还是稍矮的都会说“不是我”,而她们俩却都说“是我”。可见当时不是下午,而是上午。

既然当时是上午,那么“快到中午了”这句答话是真话,也即稍高的一个是说了真话;“而上午已经过去了”则是一句假话,也即稍矮的一个说的是假话。由于已知在上午说真话的是嘉利,说假话的是珍妮,所以稍高的一个是嘉利,稍矮的一个是珍妮。

117

这是一个比较难的逻辑推理题。这个题目难就难在不知道不合格的坏球究竟是比合格的好球轻,还是重。要解出这个题目,不仅要熟练地运用各种推理形式,而且还要有一定的机灵劲呢。

用无码天平称乒乓球的重量,每称一次会有几种结果?有三种不同的结果,即左边的重量重于、轻于或者等于右边的重量,为了做到称三次就能把这个不合格的乒乓球找出来,必须把球分成三组(各为四只球)。现在,我们为了解题的方便,把这三组乒乓球分别编号为A组、B组、C组。

首先,选任意的两组球放在天平上称。例如,我们把A、B两组放在天平上称。这就会出现两种情况:

第一种情况,天平两边平衡。那么,不合格的坏球必在c组之中。

其次,从c组中任意取出两个球(例如C1、C2)来,分别放在左右两个盘上,称第二次。这时,又可能出现两种情况:

1.天平两边平衡。这样,坏球必在C3、C4中。这是因为,在12个乒乓球中,只有一个是不合格的坏球。只有C1、C2中有一个是坏球时,天平两边才不平衡。既然天平两边平衡了,可见,C1、C2都是合格的好球。

称第三次的时候,可以从C3、C4中任意取出一个球(例如C3),同另一个合格的好球(例如C1)分别放在天平的两边,就可以推出结果。这时候可能有两种结果:如果天平两边平衡,那么,坏球必是C4;如果天平两边不平衡,那么,坏球必是C3。

2.天平两边不平衡。这样,坏球必在C1、C2中。这是因为,只有C1、C2中有一个是坏球时,天平两边才不能平衡。这是称第二次。

称第三次的时候,可以从C1、C2中任意取出一个球(例如C1),同另外一个合格的好球(例如C3),分别放在天平的两边,就可以推出结果。道理同上。

以上是第一次称之后出现第一种情况的分析。

第二种情况,第一次称过后天平两边不平衡。这说明,c组肯定都是合格的好球,而不合格的坏球必在A组或B组之中。

我们假设:A组(有A1、A2、A3、A4四球)重,B组(有B1、B2、B3、B4四球)轻。这时候,需要将重盘中的A1取出放在一旁,将A2、A3取出放在轻盘中,A4仍留在重盘中。同时,再将轻盘中的B1、B4取出放在一旁,将B2取出放在重盘中,B3仍留在轻盘中,另取一个标准球C1也放在重盘中。经过这样的交换之后,每盘中各有三个球:原来的重盘中,现在放的是A4、B2、C1,原来的轻盘中,现在放的是A2、A3、B3。

这时,可以称第二次了。这次称后可能出现的是三种情况:

1.天平两边平衡。这说明A4B2C1=A2A3B3,亦即说明,这六只是好球,这样,坏球必在盘外的A1或B1或B4之中。已知A盘重于B盘。所以,A1或是好球,或是重于好球;而B1、B4或是好球,或是轻于好球。

这时候,可以把B1、B4各放在天平的一端,称第三次。这时也可能出现三种情况:(一)如果天平两边平衡,可推知A1是不合格的坏球,这是因为12只球只有一只坏球,既然B1和B4重量相同,可见这两只球是好球,而A1为坏球;(二)B1比B4轻,则B1是坏球;(三)B4比B1轻,则B4是坏球,这是因为B1和B4或是好球,或是轻于好球,所以第三次称实则是在两个轻球中比一比哪一个更轻,更轻的必是坏球。

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