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第9章

毕达哥拉斯无法解释这种怪现象,又不敢承认2是一种新的数,因为他的全部“宇宙”理论,都奠基在整数的基础上。他下令封锁消息,不准希伯斯再谈论2,并且警告说,不要忘记了入学时立下的誓言。

原来,毕达哥拉斯学派是一个非常着名的科学会社,也是一个非常神秘的宗教团体。每个加入学派的人都得宣誓,不将学派里发生的事情告诉给外人。谁要是违背了这个规矩,任他逃到天涯海角,也很难逃脱无情的惩罚。

希伯斯很不服气。他想,不承认2是数,岂不等于是说正方形的对角线没有长度吗?简直是睁着眼睛说瞎话!为了坚持真理,扞卫真理,希伯斯将自己的发现传扬了开去。

毕达哥拉斯恼羞成怒,给希伯斯罗织了一个“叛逆”的罪名,决定严加“惩罚”。希伯斯听到风声后连夜逃走了,他东躲西藏,最后逃上了一艘海船离开了希腊,没想到在茫茫大海上,还是遇到了毕达哥拉斯派来追他的人……真理是打不倒的。毕达哥拉斯能够“惩罚”希伯斯,却“惩罚”不了2。这位神秘的“天外来客”不但逍遥法外,反而引来更多的同伴:3、5、7……频繁地出现在各类数学问题中,使得古希腊数学家伤透了脑筋……直到最近几百年,数学家们才弄清楚,2确实不是整数,也不是分数,而是一种新的数,叫做无理数。

无理数也就是无限不循环的小数。2是人类最先认识的一个无理数。1971年10月,一位美国数学家在电子计算机上运算了475个小时,求出了2小数点后的100082位数,得到的仍然是个近似值。分析这样一个精确的近似值,人们仍然看不到2的小数部分有一丝循环的迹象。

毕达哥拉斯扮演了一个可悲的角色。他不知道,无理数概念的产生,是数学史上一个重大的发现,也是整个毕达哥拉斯学派的光荣。

神秘的两栖物

着名数学家华罗庚说过:“数是数(shǔ)出来的,一个一个地数(shǔ),因而出现了1,2,3,4,5……”其实,不仅是自然数,其他一些数的引入,也都与物体的度量有关。分数的引入,与度量物体的细小部分有关;无理数的引入,与度量正方形对角线这类长度有关……16世纪时,数学家们遇到了一种奇怪的数,这种数与物体的度量无关,而且在很长的一段时间里,谁都没能在生活中找到一样事物,说它需要用这种数来刻画。

例如,意大利数学家卡当就曾遇见过这种奇怪的数。有一次,他动手解答一道很简单的数学题:“两个数的和是10,积是40,问这两个数各是多少?”

卡当设第一个数是X,由于两个数的和是10,他将第二个数记作(10-X);因为两个数的积是40,于是有X(X-10)=40,即X2-10X+40=0。

这是一个一元二次方程。数学家们早就知道了这类方程的求根公式,只要把方程的系数1、-10、40代入公式里,马上就可以算出方程的两个答案来。可是,当卡当把1、-10、40代入公式后,却算出了两个令人困惑不解的怪东西:5+-15和5--15。

卡当为什么困惑不解呢?

原来,他遇上了负数开平方的情形。“”是开平方运算的符号,如32=9,则9=3。人们一直认为,负数是不能开平方的,不仅如此,当时的人们对一些正数开平方,如2、15,也认为“仅仅是些记号而已”,不承认它们是一种数。因此,讨论-15就更加没有意义了。

卡当想,既然“15仅仅是些记号而已”,那么,何尝不把-15也看作“是些记号而已”

呢?他鼓足勇气,“不管良心会受到多大的责备”,把那两个怪东西当作是两个数,代入题中进行了演算。瞧:

(5+-15)+(5--15)=10,(5+-15)×(5--15)=40,这两个怪东西正好是题目要求的数!

从这个意义上说,这两个怪东西应该是一种数。可是,这是一种什么样的数呢?卡当没有弄清楚,17世纪的数学家们,也没有弄清楚。他们觉得这种数不像其他的数那样“实在”,有一种虚无缥缈的味道,于是就起了个名字叫“虚数”。

尽管虚数有了数的名称,许多数学家仍然拒绝承认它。例如大数学家牛顿就曾严厉指责虚数缺乏“实在”的物理意义。大数学家莱布尼兹更有趣,他说:虚数是“理想世界的奇异创造”,是一个“介于存在与不存在之间的两栖物”。

18世纪下半叶,大数学家欧拉最先用i这个记号来表示虚数单位,例如,-1可以记作i,-15可以记作15i。但是,欧拉也没有弄清虚数到底是个什么东西。他说:“一切形如-1、-2的数学式,都是不可能有的、想像的数,……它们既不是什么都是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么。它们纯属虚构。”

其实,虚数并不是虚构的数,其中的秘密,数学家们直到19世纪才弄清楚。有人用平面上的点来表示虚数,对虚数的性质作出了合理的解释,虚数也就逐渐为大家所接受。在现在高中课本里,对虚数的性质作了详细的叙述,到时候,读者们自会去作一番探幽揽胜的巡游,这里就不多加介绍了。

需要指出的是,有了虚数之后,整个数系也就完备了。除了0不能作分母以外,任何两个数都可以相加、相减、相乘、相除,以及乘方和开方了。

度天下之方圆

有一个气魄宏伟的动人故事,叫大禹治水。

故事发生在遥远的公元前21世纪,那时,我国的黄河流域经常“洪水滔天”。洪水吞没田园,冲毁房舍,使人们流离失所。于是,各个部落的人们团结起来,与大自然展开了一场艰苦卓绝的斗争。

起初,这场斗争由大禹的父亲鲧来指挥。鲧一心想把事情办好,但采用的方法不对,他一味强调,“水来土掩”,哪里有洪水就派人到哪里去堵,结果越堵水患越严重。

鲧治水失败后,大禹挺身而出,担负起领导治水的重任。他认为要制服水患,就必须因势利导,根据河流的走势宣泄水流。为了规划出一套正确的治水方案,大禹不辞辛劳地爬山涉水,实地勘察山川形势。他三过家门而不入,领导人们开山劈岭,疏浚河道,广修沟渠,奋战12年,终于“开九州,通九道”,制服了水患,谱写了一曲人定胜天的凯歌。

不具备相当的数学知识,就很难完成这项规模巨大的工程。所以,史书在记载大禹治水的动人事迹时,都没有忘记加上一句,大禹“左准绳,右规矩”。意思是大禹随身携带着规、矩这两样测量工具。

规矩是什么样的奇妙工具?

竟能用来“望山川之形,定高下之势”,在改造大自然的斗争中大建奇功?

在山东省嘉祥县一座古代建筑的石室造像中,依稀可见规矩的模样。图中有两位古代神话中我们远古祖先的形象,一位叫伏羲,一位叫女娲。伏羲手中的物体就是规,它呈两脚状,与现在的圆规相似;女娲手中的物体叫做矩,它呈直角拐尺形。

原来,规就是画圆用的圆规,矩就是折成直角的曲尺。矩由长短两把尺合成,短尺叫勾,长尺叫股,可以用来画直线或者作直角。

公元前11世纪,有位叫商高的古代数学家,曾详细介绍了用矩的方法。他说:

“把矩平放在地上,可以定出绳子的垂直;把矩竖立起来,可以测量物体的高度;把矩倒立过来,可以测量物体的深度;把矩平卧在地上,可以测量两地之间的距离。矩旋转一周,就形成了一个圆形,两个矩合拢起来,就形成了一个方形。

“知天文识地理的人是很有学问的,而这种学问就来自勾股测量,勾股测量又依赖于矩的应用。矩与数结合起来,就可以设计和制作天下的万物。”

瞧,矩的用途是多么广泛和灵活,我们的祖先又将它运用得多么出神入化啊。

规矩究竟发明于何时,已经很难考察了,但它们起源于极遥远的古代,却是无庸置疑的。在我国最早的文字甲骨文中,已有了规、矩这两个字,其中的规字,就很像手执圆规画圆的样子。到了春秋战国时期,书中关于规矩的论述更是多得不胜枚举。墨子说过:造车的工匠“执其规矩,以度天下之方圆”;孟子说过:即使是离娄那样眼光锐利的人,即使是鲁班那样心灵手巧的工匠,“不以规矩,不能成方圆”。可见至少从那时起,规与矩的应用在我国民间已经很普遍了。

测算地球周长

公元前3世纪,有位古希腊数学家叫埃拉托斯芬。他才智高超,多才多艺,在天文、地理、机械、历史和哲学等领域里,也都有很精湛的造诣,甚至还是一位不错的诗人和出色的运动员。

人们公认埃拉托斯芬是一个罕见的奇才,称赞他在当时所有的知识领域都有重要贡献,但又认为,他在任何一个领域里都不是最杰出的,总是排在第二位,于是送他一个外号“贝塔”。意思是第二号。

能得到“贝塔”的外号是很不容易的,因为古代最伟大的天才阿基米德,与埃拉托斯芬就生活在同一个时代!他们两人是亲密的朋友,经常通信交流研究成果,切磋解题方法。大家知道,阿基米德曾解决了“砂粒问题”,算出填满宇宙空间至少需要多少粒砂,使人们瞠目结舌。大概是受阿基米德的影响吧,埃拉托斯芬也回答了一个令人望而生畏的难题:地球有多大?

怎样确定地球的大小呢?埃拉托斯芬想出一个巧妙的主意:测算地球的周长。

埃拉托斯芬生活在亚历山大城里,在这座城市正南方的785公里处,另有一座城市叫塞尼。塞尼城中有一个非常有趣的现象,每年夏至那天的中午12点,阳光都能直接照射城中一口枯井的底部。

也就是说,每逢夏至那天的正午,太阳就正好悬挂在塞尼城的天顶。

亚历山大城与塞尼城几乎处于同一子午线上。同一时刻,亚历山大城却没有这样的景象。太阳稍稍偏离天顶的位置。一个夏至日的正午,埃拉托斯芬在城里竖起一根小木棍,动手测量天顶方向与太阳光线之间的夹角,测出这个夹角是72°,等于360°的1/50。

由于太阳离地球非常遥远,可以近似地把阳光看作是彼此平行的光线。于是,根据有关平行线的定理,埃拉托斯芬得出了1=2的结论。

在几何学里,2这样的角叫做圆心角。根据圆心角定理,圆心角的度数等于它所对的弧的度数。因为2=1,它的度数也是360°的1/50,所以,图中表示亚历山大城和赛尼城距离的那段圆弧的长度,应该等于圆周长度的1/50。也就是说,亚历山大城与塞尼城的实际距离,正好等于地球周长的1/50。

于是,根据亚历山大城与塞尼城的实际距离,乘以50,就算出了地球的周长。埃拉托斯芬的计算结果是:地球的周长为39250公里。

这是人类历史上第一次进行这样的测量。

联想到埃拉托斯芬去世1800年后,仍然有人为地球是圆的还是方的而喋喋不休时,埃拉托斯芬高超的计算能力和惊人的胆识益发受到人们的称颂。

几何学的一大宝藏

100多年前,一位心理学家做了个有趣的实验。他精心设计出许多不同的矩形,然后邀请许多朋友来参观,请他们各自选择一个自认为最美的矩形。结果,592位来宾选出了4个矩形。

这4个矩形看上去协调、匀称、舒适,确实能给人一种美的享受。那么,这种美的奥秘在哪里呢?

心理学家动手测量了它们的边长,发现它们的长和宽分别是:

5、8;8,13;13,21;21,34。而这些边长的比值,又都出乎意料地接近了0618。

58≈0625;813≈0615;1321≈0619;2134≈0618。

这是一次偶然的巧合吗?

选择一扇看上去最匀称的窗户,量一量它的各个边长吧;选一册装帧精美的图书,算一算它边长的比值吧……只要留心观察,就不难时时发现“0618”的踪迹。有经验的报幕员上台亮相,决不会走到舞台的正中央,而是站在近乎舞台长度的0618倍处,给观众留下一个美的形象……哪里有“0618”,哪里就闪烁着美的光辉。连女神维纳斯的雕像上也都烙有“0618”的印记。如若不信,不妨去算一算这尊女神身长与躯干的比值,看看是不是接近于0618?而一般人身长与躯干之比,大约只有058。难怪芭蕾舞演员在翩翩起舞时,要不时地踮起脚尖呢。

这些都是偶然的巧合吗?当然不是。数学家会告诉你,它们遵循着数学的黄金分割律。

公元前4世纪,有位叫攸多克萨斯的古希腊数学家,曾经研究过这样一个问题:“如何在线段AB上选一点C,使得AB∶AC=AC∶CB?”这就是赫赫有名的黄金分割。

C点应该选择在什么地方呢?不妨假设线段AB的长度是1C,点到A点的长度是X,则C点到B点的长度是(1-X),于是1∶X=X∶(1-X)解得X=-1+52。

舍去负值,得X=5-12≈0618。

“0618”是唯一满足黄金分割的点,叫做黄金分割点。

黄金分割冠以“黄金”二字,足见人们对它的珍视。艺术家们发现,遵循黄金分割来设计人体形象,人体就会呈现最优美的身段,音乐家们发现,将手指放在琴弦的黄金分割点处,乐声就益发宏亮,音色就更加和谐;建筑师们发现,遵循黄金分割去设计殿堂,殿堂就更加雄伟庄重,去设计别墅,别墅将更使人感到舒适;科学家们发现,将黄金分割运用到生产实践和科学实验中,能够取得显着的经济效益……黄金分割的应用极其广泛,不愧为几何学的一大宝藏。

送给外星人看

几何学里有一个非常重要的定理,在我国叫勾股定理,在国外叫毕达哥拉斯定理,相传毕达哥拉斯发现这个定理后欣喜欲狂,宰了100头牛大肆庆贺了许多天,因此这个定理也叫百牛定理。

勾股定理的大意是:任意画一个直角三角形,它的两条直角边的平方和,一定会等于斜边的平方。这个定理精确地刻画了直角三角形3条边之间的数量关系,以它为基础,还可以推导出不少重要的数学结论来。

勾股定理不仅是最古老的数学定理之一,也是数学中证法最多的一个定理。几千年来,人们已经发现了400多种不同的证明方法,足以编成厚厚的一本书。实际上,国外确实有一本这样的书,书中收集有370多种不同的证法。在为数众多的证题者中,不仅有着名的数学家,也有许多数学爱好者。美国第20任总统伽菲尔德,就曾发现过一种巧妙的证法。

伽菲尔德的证法很有趣。他首先画两个同样大小的直角三角形,然后设法组成一个梯形。根据梯形面积的计算公式,整个图形的面积为S=a+b2(a+b)=12(a2+b2+2ab)。

另一方面,根据三角形面积计算公式,整个图形的面积为S=12ab+12ab+12c2=12(2ab+c2)。

即a2+b2=c2。

据说,世界上最先证明勾股定理的人,是古希腊数学家毕达哥拉斯,但谁也未见过他的证法。

目前所能见到的最早的一种证法,属于古希腊数学家欧几里得,他的证法采用演绎推理的形式,记载在世界上数学名着《几何原本》

里。

在我国,最先明确地证明勾股定理的人,是三国时期的数学家赵爽。

赵爽的证法很有特色。首先,他作4个同样大小的直角三角形,将它们拼成设定的形状,然后再着手计算整个图形的面积。显然,整个图形是一个正方形,它的边长是C,面积为C2。另一方面,整个图形又可以看作是4个三角形与1个小正方形面积的和。

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