第9章

毕达哥拉斯无法解释这种怪现象，又不敢承认2是一种新的数，因为他的全部“宇宙”理论，都奠基在整数的基础上。他下令封锁消息，不准希伯斯再谈论2，并且警告说，不要忘记了入学时立下的誓言。

原来，毕达哥拉斯学派是一个非常着名的科学会社，也是一个非常神秘的宗教团体。每个加入学派的人都得宣誓，不将学派里发生的事情告诉给外人。谁要是违背了这个规矩，任他逃到天涯海角，也很难逃脱无情的惩罚。

希伯斯很不服气。他想，不承认2是数，岂不等于是说正方形的对角线没有长度吗？简直是睁着眼睛说瞎话！为了坚持真理，扞卫真理，希伯斯将自己的发现传扬了开去。

毕达哥拉斯恼羞成怒，给希伯斯罗织了一个“叛逆”的罪名，决定严加“惩罚”。希伯斯听到风声后连夜逃走了，他东躲西藏，最后逃上了一艘海船离开了希腊，没想到在茫茫大海上，还是遇到了毕达哥拉斯派来追他的人……真理是打不倒的。毕达哥拉斯能够“惩罚”希伯斯，却“惩罚”不了2。这位神秘的“天外来客”不但逍遥法外，反而引来更多的同伴：3、5、7……频繁地出现在各类数学问题中，使得古希腊数学家伤透了脑筋……直到最近几百年，数学家们才弄清楚，2确实不是整数，也不是分数，而是一种新的数，叫做无理数。

无理数也就是无限不循环的小数。2是人类最先认识的一个无理数。1971年10月，一位美国数学家在电子计算机上运算了475个小时，求出了2小数点后的100082位数，得到的仍然是个近似值。分析这样一个精确的近似值，人们仍然看不到2的小数部分有一丝循环的迹象。

毕达哥拉斯扮演了一个可悲的角色。他不知道，无理数概念的产生，是数学史上一个重大的发现，也是整个毕达哥拉斯学派的光荣。

神秘的两栖物

着名数学家华罗庚说过：“数是数（shǔ）出来的，一个一个地数（shǔ），因而出现了1，2，3，4，5……”其实，不仅是自然数，其他一些数的引入，也都与物体的度量有关。分数的引入，与度量物体的细小部分有关；无理数的引入，与度量正方形对角线这类长度有关……16世纪时，数学家们遇到了一种奇怪的数，这种数与物体的度量无关，而且在很长的一段时间里，谁都没能在生活中找到一样事物，说它需要用这种数来刻画。

例如，意大利数学家卡当就曾遇见过这种奇怪的数。有一次，他动手解答一道很简单的数学题：“两个数的和是10，积是40，问这两个数各是多少？”

卡当设第一个数是X，由于两个数的和是10，他将第二个数记作（10－X）；因为两个数的积是40，于是有X（X－10）＝40，即X2－10X＋40＝0。

这是一个一元二次方程。数学家们早就知道了这类方程的求根公式，只要把方程的系数1、－10、40代入公式里，马上就可以算出方程的两个答案来。可是，当卡当把1、－10、40代入公式后，却算出了两个令人困惑不解的怪东西：5＋-15和5－-15。

卡当为什么困惑不解呢？

原来，他遇上了负数开平方的情形。“”是开平方运算的符号，如32＝9，则9＝3。人们一直认为，负数是不能开平方的，不仅如此，当时的人们对一些正数开平方，如2、15，也认为“仅仅是些记号而已”，不承认它们是一种数。因此，讨论-15就更加没有意义了。

卡当想，既然“15仅仅是些记号而已”，那么，何尝不把-15也看作“是些记号而已”

呢？他鼓足勇气，“不管良心会受到多大的责备”，把那两个怪东西当作是两个数，代入题中进行了演算。瞧：

（5＋-15）＋（5－-15）＝10，（5＋-15）×（5－-15）＝40，这两个怪东西正好是题目要求的数！

从这个意义上说，这两个怪东西应该是一种数。可是，这是一种什么样的数呢？卡当没有弄清楚，17世纪的数学家们，也没有弄清楚。他们觉得这种数不像其他的数那样“实在”，有一种虚无缥缈的味道，于是就起了个名字叫“虚数”。

尽管虚数有了数的名称，许多数学家仍然拒绝承认它。例如大数学家牛顿就曾严厉指责虚数缺乏“实在”的物理意义。大数学家莱布尼兹更有趣，他说：虚数是“理想世界的奇异创造”，是一个“介于存在与不存在之间的两栖物”。

18世纪下半叶，大数学家欧拉最先用i这个记号来表示虚数单位，例如，-1可以记作i，-15可以记作15i。但是，欧拉也没有弄清虚数到底是个什么东西。他说：“一切形如-1、-2的数学式，都是不可能有的、想像的数，……它们既不是什么都是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么。它们纯属虚构。”

其实，虚数并不是虚构的数，其中的秘密，数学家们直到19世纪才弄清楚。有人用平面上的点来表示虚数，对虚数的性质作出了合理的解释，虚数也就逐渐为大家所接受。在现在高中课本里，对虚数的性质作了详细的叙述，到时候，读者们自会去作一番探幽揽胜的巡游，这里就不多加介绍了。

需要指出的是，有了虚数之后，整个数系也就完备了。除了0不能作分母以外，任何两个数都可以相加、相减、相乘、相除，以及乘方和开方了。

度天下之方圆

有一个气魄宏伟的动人故事，叫大禹治水。

故事发生在遥远的公元前21世纪，那时，我国的黄河流域经常“洪水滔天”。洪水吞没田园，冲毁房舍，使人们流离失所。于是，各个部落的人们团结起来，与大自然展开了一场艰苦卓绝的斗争。

起初，这场斗争由大禹的父亲鲧来指挥。鲧一心想把事情办好，但采用的方法不对，他一味强调，“水来土掩”，哪里有洪水就派人到哪里去堵，结果越堵水患越严重。

鲧治水失败后，大禹挺身而出，担负起领导治水的重任。他认为要制服水患，就必须因势利导，根据河流的走势宣泄水流。为了规划出一套正确的治水方案，大禹不辞辛劳地爬山涉水，实地勘察山川形势。他三过家门而不入，领导人们开山劈岭，疏浚河道，广修沟渠，奋战12年，终于“开九州，通九道”，制服了水患，谱写了一曲人定胜天的凯歌。

不具备相当的数学知识，就很难完成这项规模巨大的工程。所以，史书在记载大禹治水的动人事迹时，都没有忘记加上一句，大禹“左准绳，右规矩”。意思是大禹随身携带着规、矩这两样测量工具。

规矩是什么样的奇妙工具？

竟能用来“望山川之形，定高下之势”，在改造大自然的斗争中大建奇功？

在山东省嘉祥县一座古代建筑的石室造像中，依稀可见规矩的模样。图中有两位古代神话中我们远古祖先的形象，一位叫伏羲，一位叫女娲。伏羲手中的物体就是规，它呈两脚状，与现在的圆规相似；女娲手中的物体叫做矩，它呈直角拐尺形。

原来，规就是画圆用的圆规，矩就是折成直角的曲尺。矩由长短两把尺合成，短尺叫勾，长尺叫股，可以用来画直线或者作直角。

公元前11世纪，有位叫商高的古代数学家，曾详细介绍了用矩的方法。他说：

“把矩平放在地上，可以定出绳子的垂直；把矩竖立起来，可以测量物体的高度；把矩倒立过来，可以测量物体的深度；把矩平卧在地上，可以测量两地之间的距离。矩旋转一周，就形成了一个圆形，两个矩合拢起来，就形成了一个方形。

“知天文识地理的人是很有学问的，而这种学问就来自勾股测量，勾股测量又依赖于矩的应用。矩与数结合起来，就可以设计和制作天下的万物。”

瞧，矩的用途是多么广泛和灵活，我们的祖先又将它运用得多么出神入化啊。

规矩究竟发明于何时，已经很难考察了，但它们起源于极遥远的古代，却是无庸置疑的。在我国最早的文字甲骨文中，已有了规、矩这两个字，其中的规字，就很像手执圆规画圆的样子。到了春秋战国时期，书中关于规矩的论述更是多得不胜枚举。墨子说过：造车的工匠“执其规矩，以度天下之方圆”；孟子说过：即使是离娄那样眼光锐利的人，即使是鲁班那样心灵手巧的工匠，“不以规矩，不能成方圆”。可见至少从那时起，规与矩的应用在我国民间已经很普遍了。

测算地球周长

公元前3世纪，有位古希腊数学家叫埃拉托斯芬。他才智高超，多才多艺，在天文、地理、机械、历史和哲学等领域里，也都有很精湛的造诣，甚至还是一位不错的诗人和出色的运动员。

人们公认埃拉托斯芬是一个罕见的奇才，称赞他在当时所有的知识领域都有重要贡献，但又认为，他在任何一个领域里都不是最杰出的，总是排在第二位，于是送他一个外号“贝塔”。意思是第二号。

能得到“贝塔”的外号是很不容易的，因为古代最伟大的天才阿基米德，与埃拉托斯芬就生活在同一个时代！他们两人是亲密的朋友，经常通信交流研究成果，切磋解题方法。大家知道，阿基米德曾解决了“砂粒问题”，算出填满宇宙空间至少需要多少粒砂，使人们瞠目结舌。大概是受阿基米德的影响吧，埃拉托斯芬也回答了一个令人望而生畏的难题：地球有多大？

怎样确定地球的大小呢？埃拉托斯芬想出一个巧妙的主意：测算地球的周长。

埃拉托斯芬生活在亚历山大城里，在这座城市正南方的785公里处，另有一座城市叫塞尼。塞尼城中有一个非常有趣的现象，每年夏至那天的中午12点，阳光都能直接照射城中一口枯井的底部。

也就是说，每逢夏至那天的正午，太阳就正好悬挂在塞尼城的天顶。

亚历山大城与塞尼城几乎处于同一子午线上。同一时刻，亚历山大城却没有这样的景象。太阳稍稍偏离天顶的位置。一个夏至日的正午，埃拉托斯芬在城里竖起一根小木棍，动手测量天顶方向与太阳光线之间的夹角，测出这个夹角是72°，等于360°的1／50。

由于太阳离地球非常遥远，可以近似地把阳光看作是彼此平行的光线。于是，根据有关平行线的定理，埃拉托斯芬得出了1=2的结论。

在几何学里，2这样的角叫做圆心角。根据圆心角定理，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。因为2＝1，它的度数也是360°的1／50，所以，图中表示亚历山大城和赛尼城距离的那段圆弧的长度，应该等于圆周长度的1／50。也就是说，亚历山大城与塞尼城的实际距离，正好等于地球周长的1／50。

于是，根据亚历山大城与塞尼城的实际距离，乘以50，就算出了地球的周长。埃拉托斯芬的计算结果是：地球的周长为39250公里。

这是人类历史上第一次进行这样的测量。

联想到埃拉托斯芬去世1800年后，仍然有人为地球是圆的还是方的而喋喋不休时，埃拉托斯芬高超的计算能力和惊人的胆识益发受到人们的称颂。

几何学的一大宝藏

100多年前，一位心理学家做了个有趣的实验。他精心设计出许多不同的矩形，然后邀请许多朋友来参观，请他们各自选择一个自认为最美的矩形。结果，592位来宾选出了4个矩形。

这4个矩形看上去协调、匀称、舒适，确实能给人一种美的享受。那么，这种美的奥秘在哪里呢？

心理学家动手测量了它们的边长，发现它们的长和宽分别是：

5、8；8，13；13，21；21，34。而这些边长的比值，又都出乎意料地接近了0618。

58≈0625；813≈0615；1321≈0619；2134≈0618。

这是一次偶然的巧合吗？

选择一扇看上去最匀称的窗户，量一量它的各个边长吧；选一册装帧精美的图书，算一算它边长的比值吧……只要留心观察，就不难时时发现“0618”的踪迹。有经验的报幕员上台亮相，决不会走到舞台的正中央，而是站在近乎舞台长度的0618倍处，给观众留下一个美的形象……哪里有“0618”，哪里就闪烁着美的光辉。连女神维纳斯的雕像上也都烙有“0618”的印记。如若不信，不妨去算一算这尊女神身长与躯干的比值，看看是不是接近于0618？而一般人身长与躯干之比，大约只有058。难怪芭蕾舞演员在翩翩起舞时，要不时地踮起脚尖呢。

这些都是偶然的巧合吗？当然不是。数学家会告诉你，它们遵循着数学的黄金分割律。

公元前4世纪，有位叫攸多克萨斯的古希腊数学家，曾经研究过这样一个问题：“如何在线段AB上选一点C，使得AB∶AC＝AC∶CB？”这就是赫赫有名的黄金分割。

C点应该选择在什么地方呢？不妨假设线段AB的长度是1C，点到A点的长度是X，则C点到B点的长度是（1－X），于是1∶X＝X∶（1－X）解得X＝-1+52。

舍去负值，得X＝5-12≈0618。

“0618”是唯一满足黄金分割的点，叫做黄金分割点。

黄金分割冠以“黄金”二字，足见人们对它的珍视。艺术家们发现，遵循黄金分割来设计人体形象，人体就会呈现最优美的身段，音乐家们发现，将手指放在琴弦的黄金分割点处，乐声就益发宏亮，音色就更加和谐；建筑师们发现，遵循黄金分割去设计殿堂，殿堂就更加雄伟庄重，去设计别墅，别墅将更使人感到舒适；科学家们发现，将黄金分割运用到生产实践和科学实验中，能够取得显着的经济效益……黄金分割的应用极其广泛，不愧为几何学的一大宝藏。

送给外星人看

几何学里有一个非常重要的定理，在我国叫勾股定理，在国外叫毕达哥拉斯定理，相传毕达哥拉斯发现这个定理后欣喜欲狂，宰了100头牛大肆庆贺了许多天，因此这个定理也叫百牛定理。

勾股定理的大意是：任意画一个直角三角形，它的两条直角边的平方和，一定会等于斜边的平方。这个定理精确地刻画了直角三角形3条边之间的数量关系，以它为基础，还可以推导出不少重要的数学结论来。

勾股定理不仅是最古老的数学定理之一，也是数学中证法最多的一个定理。几千年来，人们已经发现了400多种不同的证明方法，足以编成厚厚的一本书。实际上，国外确实有一本这样的书，书中收集有370多种不同的证法。在为数众多的证题者中，不仅有着名的数学家，也有许多数学爱好者。美国第20任总统伽菲尔德，就曾发现过一种巧妙的证法。

伽菲尔德的证法很有趣。他首先画两个同样大小的直角三角形，然后设法组成一个梯形。根据梯形面积的计算公式，整个图形的面积为S＝a+b2(a+b)＝12（a2＋b2＋2ab）。

另一方面，根据三角形面积计算公式，整个图形的面积为S＝12ab＋12ab＋12c2＝12（2ab＋c2）。

即a2＋b2＝c2。

据说，世界上最先证明勾股定理的人，是古希腊数学家毕达哥拉斯，但谁也未见过他的证法。

目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得，他的证法采用演绎推理的形式，记载在世界上数学名着《几何原本》

里。

在我国，最先明确地证明勾股定理的人，是三国时期的数学家赵爽。

赵爽的证法很有特色。首先，他作4个同样大小的直角三角形，将它们拼成设定的形状，然后再着手计算整个图形的面积。显然，整个图形是一个正方形，它的边长是C，面积为C2。另一方面，整个图形又可以看作是4个三角形与1个小正方形面积的和。