登陆注册
3236900000002

第2章

泥版的故事

19世纪前期,人们在亚洲西部伊拉克境内发现了50万块泥版,上面密密麻麻地刻有奇怪的符号。这些符号是古巴比伦人所用的文字,现在人们称它为“楔形文字”。科学家经过研究,弄清了泥版上所记载的,是古巴比伦人已获得的知识,其中包括了大量的数学知识。

古代人最初用石块、绳结,后来又用手指来记数。一个指头代表1,两个指头代表2,……,当数到10时,就得重新开始,巴比伦人由此产生了逢十进一概念。又因为,一年中月亮有12次圆缺,一只手又有5个指头,12×5=60。这样,他们又有了隔60进一的记数法。他们用表示1,表示10,从1到9是把写相应的次数,从10到50是把和结合起来写相应的次数。例如35写成。这种记数的方法,影响了后人,产生了现在我们所用的十进制和六十进制。例如,时间分为1小时=60分,1分=60秒。

巴比伦人还掌握了许多计算方法,并且编制各种数表帮助计算。从那些泥版上,人们发现巴比伦人已有了乘法表、倒数表、平方和立方表、平方根和立方根表。他们还运用了代数概念。

巴比伦泥版上还有这样的问题:兄弟10人分123米那的银子(米那及后面的赛克尔都是古代的重量单位,其中1米那=60赛克尔),已知他们分得的银子数成等差数列,而且第八个人的银子为6赛克尔,求每人所得的银子数量。从这样一些例子中,科学家认识到了巴比伦已知道等差数列、等比数列的概念。

巴比伦人也具备了初步的几何知识。他们会把不规则形状的田地分割为长方形、三角形和梯形来计算面积,也能计算简单的体积。他们非常熟悉等分圆周的方法,求得圆周与直径的比π≈3,还使用了勾股定理。

他们的成就对后来数学的发展产生了巨大的影响。

金字塔和纸草书

闻名世界的埃及金字塔,几百年来不仅以它宏伟高大的气势,吸引了无数旅游观光者,而且由于它设计的别致,建造的精巧,吸引了世界各地的科学家。据对最大的胡夫金字塔的测算,发现它原高1465米(现因损坏还高137米),基底正方形每边长233米(现为227米)。但是,各底边长度的误差仅仅是16厘米,只是全长的114600;基底直角的误差只有12″,仅为直角的127000。此外,金字塔的四个面正向着东南西北,底面正方形两边与正北的偏差,也分别只有2′30″和5′30″。

这么高大的金字塔,建造精度如此之高,这使得科学家深信,古埃及人已掌握了丰富的知识。当科学家破译了古埃及人流传下来草片上的文字后,这一猜想得到了证实。

原来,在尼罗河三角洲盛产一种形状如芦苇的水生植物——纸莎草,古埃及人把这种草从纵面剖成小条,拼排整齐,连接成片,压榨晒干,用来写字,在纸莎草上写的字,叫纸草书。

如今将这种纸草书的一部分整理出来。

1822年,一位名叫高博良的法国人弄清了它们的含义,使人们知道,古埃及人已学会用数学来管理国家和宗教事务,确定付给劳役者的报酬,求谷仓的容积和田地的面积,按土地面积估计应该征收的地税,计算修造房屋和防御工程所需要的砖块数;计算酿造一定量酒所需的谷物数量;等等。换成数学的语言就是,古埃及人已经掌握了加减乘除运算、分数的运算;他们解决了一元一次方程和一类相当于二元二次方程组的特殊问题。纸草书上还有关于等差数列和等比数列的问题。他们计算矩形、三角形和梯形的面积,长方体、圆柱体、棱台的体积等结果,与现代计算值相近。更令人惊奇的是,他们用公式A=(89d)2(d为直径)来计算圆面积,这相当于取π值为31605,这是非常了不起的。

由于具有了这样的数学知识,古埃及人建成金字塔就不足为怪了。

佛掌上的“明珠”

印度是个信奉佛教的国度,古印度人对古代数学的贡献,犹如印度佛掌上明珠那样耀眼、令人注目。

在公元前3世纪,印度出现了数的记号。在公元200年到1200年之间,古印度人就知道了数字符号和0符号的应用,这些符号在某些情况下与现在的数字很相似。此后,印度数学引进十进位制的数字和确立数字的位值制,大在简化了数的运算,并使记数法更加明确。如古巴比伦的小记即可以表示1,也可以表示160,而在印度人那里,符号1只能表示1单位,若表示十、百等,须在1的后面写上相应个数的0,现代人就是这样来记数的。

印度人很早就会用负数来表示欠债和反方向运动。他们还接受了无理数概念,在实际计算中把适用于有理数的运算步骤用到无理数中去。他们还解出了一次方程和二次方程。

印度数学在几何方面没有取得大的进展,但对三角学贡献很多。这是古印度人热衷于研究天文学的副产品。如在他们计算中已经用了三种三角量:一种相当于现在的正弦,一种相当于余弦,另一种是正矢,等于1cosa,现在已不采用。他们已经知道三角量之间的某些关系式。如sin2α+cos2α=1,cos(90°-α)=sinα等,还利用半角表达式计算某些特殊角的三角值。

数学之桥

阿拉伯人对古代数学的贡献,早现在人们最熟悉的1、2、…9、0十个数字,称为阿拉伯数字。但是,在数学发展过程中,阿拉伯人主要是吸收、保存了希腊和印度的数学,并将它传给欧洲,架起了一座“数学之桥”。

在算术上,阿拉伯人采用和改进了印度的数字记号和进位记法,也采用了印度的无理数运算,但放弃了负数的运算。代数这门学科的名称就是由阿拉伯人发明的。阿拉伯人还解出一些一次、二次方程,甚至三次方程,并且用几何图形来解释它们的解法。如对于方程x2+10x=39,他们的几何解法如下:作一个正方形,假定它的边长为未知数x,然后在经四边上,向外作x=52的矩形。将整个图形扩充成边长为x+5的正方形,整个大正方形面积等于边长为x的正方形面积与边为52的四个正方形面积及边长各为x、52的四个矩形面积之和。所以大正方形面积是x2+4x×52×x+4×52×52,即x2+10x+25。因为x2+10x=39,所以大正方形面积等于39+25即是64。因此,大正方形边长等于8,而x就是8-252=3。阿拉伯人还用圆锥曲线相交来解三次方程,这是一大进步。

阿拉伯人还获得了较精确的圆周率,得到了2π=6283185307195865,π已计算到17位。此外,他们在三角形上引进了正切和余切,给出了平面三角形的正弦定律的证明。平面三角和球面三角的比较完整的理论也是他们提出的。

阿拉伯数学作为“数字之桥”,还在于翻译并着述了大量数字文献,这些着作传到欧洲后,数字从此进入了新的发展时期。

数学的摇篮

巴比伦人和古埃及人积累了许多数学知识,但他们只能回答“怎么做”,却无法回答“为什么”要这么做的道理。古希腊人从阿拉伯人那里学到了这些经验,进行了精细的思考和严密的推理,才逐渐产生了现代意义上的数学科学。

第一个对数学诞生作出巨大贡献的是泰勒斯。他曾利用太阳影子计算了金字塔的高度,实际上就是利用了相似三角形的性质。他弄清了:直角彼此相等;等腰三角形的底角相等;圆被任一直径平分;如果两个三角形有一边及这边上的两个角对应相等,那么这两个三角形全等;而且证明了这些知识。这些知识现在看起来很简单,但在当时是非常了不起的。

在仄勒斯之后,以毕达哥拉斯为首的后批学者对数学作出了贡献。他们最出色的成就之一是发现了“勾股定理”,在西方被称为“华达哥拉斯定理”。正是用了这一定理,后来导致了无理数的发现,引起了第一次数学危机。

稍晚于毕达哥拉斯的芝诺,提出了四条着名的悖论,对以后数学概念的发展产生了重要的影响。

经过泰勒斯到芝诺等人的努力,古希腊的数学有了全新的发展。欧几里德吸取其中的精华,写成了《几何原本》这本在数学史上最有名的着作。今天人们所学的平面几何学知识,都来源于这本书。

继欧几里德之后,阿基米德开创了希腊数学发展的新时期,人们称之为亚历山大时期,阿基米德在数学方面的工作,远远超越了他那个时代,被后人称为“数学之神”。他设计过一种大数体系,即使整个宇宙都填满了细小的砂粒,也可以毫不费力地把砂子的粒数数出来。他通过作边数越来越多的内接正多边形、外切正多边形,算得了圆周率的值在31071到371之间。他得到了求面积和求体积的公式,还发明了以他名字命名的螺钱。

在阿基米德之后,古希腊的数学更加侧重于应用。在天文学发展的促进下,希帕恰斯、梅尼劳斯、托勒密创立了三角学。尼可马修斯写出了第一本专门的数论曲籍——《算术入门》,丢番图则系统地研究了各种方程,特别是各种不定方程。这们,初等数学的各个分支——算术、数论、代数、几何、三角全部建立了起来,这意味着,由巴比伦人、古埃及人孕育的数学“婴儿”,终于在古希腊的摇篮中诞生了。

几何学的奠基人

两三千年前,古埃及人生活在尼罗河两岸,生产力很发达,大片大片的土地被开发。但是,人类无法与大自然抗争,当时的人们对洪水束手无策。每年,当夏秋季节尼罗河泛滥时期,河两岸的田地就有不少被洪水淹没或因河床改道,好端端的一块农田就会被吞没一块。每到这时,就会有几个聪明的埃及人拿着木棍绳子又比又量,准确地计算法老租给人们土地面积的变化。渐渐地,埃及人积累了不少计算面积的公式。如:

矩形:A=ab(其中A是面积,a是长,b是宽。)三角形:A=ah/2(其中a是边长,h是高。)另外,还能计算出梯形面积。而当时计算圆形面积的公式(8d/9)2,和如今的计算公式极为相近。

但是,当时的人们还没有把这些公式命名为几何学。

到了公元前320年,有一位叫作欧德谟的学者,根据埃及人的经验,写了一本《几何学的发展史》。这部书只有残篇传到了现在。又过了大约20年,古希腊出了一位叫欧几里得的人,他根据前人的经验,经过自己的计算推理,写出了一本共13篇的《原本》(又称《几何原本》)。这是人类第一次出现的“几何”概念。

欧几里得在《原本》这本书里,首先给出的是定义和公理。比如,他的点、线、面的概念:

点是只有位置没有大小的;线是只有长度没有宽度的;面是只有长度和宽度的;平行线是同一平面内无限延长后永不相交的两条直线;……这些定义和现今的几何定义极为相似。

欧几里得还按照逻辑原理,推论出十分严谨美妙的五条公理(又称“公设”)。其中有:

从一点到另一任意点作直线是可能的;所有的直角都相等;a=b,b=c,则a=c;若a=b,则a+c=b+c;《原本》中还有关于圆的性质的讨论。如弦、切线、割线、圆心角等等。讨论了圆的内接和外接图形。其中,有一个命题是在一个圆内作正15边形。

据说,当时的天文学一直认为地球赤道面与地球绕日公转面的交角是24°,即是圆周的1/15。于是,欧几里得运用自己的智慧,作出了正15边形,这在当时是一个难度十分大的命题。

《原本》13篇中共有467个命题。这些命题和推理所建立起来的几何学体系是相当严谨和完整的,以至于连20世纪最伟大的科学家爱因斯坦都这样说:一个人当他最初接触欧几里得几何学时,如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动,那么他是不会成为科学家的。

从《原本》的出现到现在,这部书出版过一千次以上,几乎世界上所有的杰出数学家,都是读着《原本》成长起来的。两千多年来,《原本》就像一尊坚固的宝塔,其坚固程度没有人能撼动它。因此,后人,尤其是科学界都把《原本》看作是一部经典奇书,而欧几里得的名字,也同《原本》一道流传千古。

欧几里得大约生于公元前330年,死于公元前275年。可惜的是,他一生的经历久已失传。

数学竞赛判真伪

1500年的某天,意大利北部的布里西亚,一户人家生了一个男孩,取名叫丰坦那。不久,意大利与法国发生战争,法军攻陷了布里西亚地区,大肆屠杀意大利人。丰坦那的父亲死于战祸,小丰坦那的头部和下颚也受了重伤。好在他的母亲是一位聪明而勇敢的妇女,她见儿子受伤,又没有医生看病治疗,她就想到了狗用舌头舔愈伤口的情景。于是,她也学着这个方法,用自己的舌头治好了儿子的伤口。

谁知痊愈后的小丰坦那却得了一个口吃的毛病,说话不连贯,人们就给他取个外号叫塔尔塔利亚(意译为口吃者)。久而久之,塔尔塔利亚就成了他的名字,丰坦那的名字也被人忘记了。

因为父亲死于战乱,塔尔塔利亚的家境十分贫寒,母亲无力送他上学读书。但是,塔尔塔利亚从小求知欲极强,母亲就在他父亲坟墓的石板上教他认字、算题。由于他天资聪明,意志坚强,竟独自学会了拉丁文和希腊文,对数学的钻研成绩更为突出。经过长期自学,成人后,他终于取得了成功,先后在他的家乡布里西亚和威尼斯等地从事教学工作。

塔尔塔利亚专门喜欢解各种数学难题,在这方面不少数学爱好者败在他的手下。

1530年的一天,有一位叫科拉的数学教师向塔尔塔利亚提出两道数学难题进行挑战:

1一个数的立方加上它的平方的3倍等于5,求这个数。实际上是一个一元三次方程,即:x3+3x2=52三个数,第二个数比第一个数多2,第三个数比第二个数多2,三个数的乘积是1000,求这三个数各是多少。实际上这也是一个一元三次方程,即:x(x+2)(x+2+2)=1000,展开后是x3+6x2+8x=1000当时,人类还没有找到三次方程的解法。塔尔塔利亚于是全身心地投入进去,废寝忘食地解这两道题。不久,居然让他解开了,并因此找到了解开一元三次方程的办法。于是,塔尔塔利亚向外公开宣称,他已经知道了一元三次方程的解法,但不能公开自己的步骤,他要保密。此时,有一位叫菲俄的人也宣称,他也找到了解开一元三次方程的办法,并宣称,他的方法是得到了当时着名数学家波伦那大学教授费罗的真传。

他们二人谁真谁假?谁优谁劣?于是,1535年2月22日,在意大利有名的米兰大教堂里,举行了一次仅有塔尔塔利亚和菲俄参加的数学竞赛。竞赛内容专门限于一元三次方程。他们各自给对方出30道题,谁解得对解得快谁就得胜。两个小时之后,塔尔塔利亚解完了全部30道题,而菲俄却一道题也解不出来。竞赛结果,塔尔塔利亚大获全胜。

原来,一元三次方程的问题是1404年被人引起来的。

同类推荐
  • 爱国爱民(上)

    爱国爱民(上)

    本丛书筛选内容主要遵循以下原则要求:(1)坚持批判继承思想,取其精华、去其糟粕。既不全盘肯定,也不全盘否定。坚持抽象继承、演绎发展、立足当代、为我所用。(2)坚持系统整体的原则。注意各历史时期分布;注意各民族的进步人物;注意各层面人物;注意人物各侧面。做到:竖看历史五千年,纵向成条线;横看美德重实践,横向不漏面。(3)坚持古为今用,为我所用原则。在发掘美德资源时,特别挖掘古代人物故事、言论,注重寻找挖掘各阶层、各民族的传统公德、通德、同德;注重人民性、民主性、进步性、发展性、普遍性、抽象性,不求全古代,不求全个体。
  • 青少年必学古文名句的故事(启迪青少年的语文故事集)

    青少年必学古文名句的故事(启迪青少年的语文故事集)

    启迪青少年的语文故事集——青少年必学古文名句的故事启迪青少年的语文故事集——青少年必学古文名句的故事。
  • 战争与和平(语文新课标课外必读第五辑)

    战争与和平(语文新课标课外必读第五辑)

    国家教育部颁布了最新《语文课程标准》,统称新课标,对中、小学语文教学指定了阅读书目,对阅读的数量、内容、质量以及速度都提出了明确的要求,这对于提高学生的阅读能力,培养语文素养,陶冶情操,促进学生终身学习和终身可持续发展,对于提高广大人民的文学素养具有极大的意义。
  • 游戏高手大比拼(青少年挖掘大脑智商潜能训练集)

    游戏高手大比拼(青少年挖掘大脑智商潜能训练集)

    潜能是人类原本存在但尚未被开发与利用的能力,是潜在的能量。根据能量守恒定律,能量既不会消灭,也不会创生,它只会从一种形式转化为其他形式,或者从一个物体转移到另一个物体,而转化和转移过程中,能的总量保持不变。
  • 学生作文知识讲话

    学生作文知识讲话

    《作文知识讲话》是作者几十年作文教学实践及其研究探讨的结晶,对中小学生和语文教师具有切实的指导和参考价值。
热门推荐
  • 优美的田园散文(散文书系)

    优美的田园散文(散文书系)

    散文是美的,它能给人以美的享受,然而什么样的散文才是最美的散文呢?秦牧曾说:“精粹警辟的、谈笑风生的、亲切感人的、玲珑剔透的,使你读时入了神、读后印象久久不会消失的好散文,还是不多。”他还说:“一篇好的散文,应该通过各种各样的内容给人以思想的启发、美的感受、情操的陶冶。”品读精美的散文,宛如清风般涤荡沐浴;让散文的清扬与美丽永远地伴随你。
  • 东宫有本难念的经

    东宫有本难念的经

    宝庆十九年春,大佑国皇太子大婚,大将军之女入主东宫。一个不是淑女的将门千金遭遇一个不是文韬武略的中庸太子,到底是佳偶天成,还是冤家路窄?成婚一年不足,太子忽然休妻。迷影重重,生死茫茫,这样一来,还是不是大团圆结局?
  • 行为改变思想

    行为改变思想

    威廉·詹姆斯观察人们的情绪和行为联系时,发现了“表现”原理,认为人们可以通过对某种行为的表现而获得相应的情绪感受。本书以“表现”原理为核心,用通俗易懂的语言,详细地阐述了行为是如何影响人的认知,改变认知,改变思想的。本书充满世界著名哲学家,思想家在行为与思想方面进行的经典实验和案例,开阔了读者视野,令人耳目一新。同时,生动地列举出日常生活中人们的各种行为对思想情绪产生的影响,使人们更容易反观自己的行为,有目的地改变自己的行为,从而使得自己越来越靠近预设的目标。
  • 明治天皇:孝明帝驾崩卷(下册)

    明治天皇:孝明帝驾崩卷(下册)

    《明治天皇》再现了日本从幕末走向明治维新的历史变革,以优美的文笔,宏大的场景,详细描绘了日本近代决定国运的倒幕运动的整个过程。本书塑造了一个个鲜活的日本近代史人物形象,以及他们的坚定信念,对“安政大狱”、“樱田门之变”等重大历史事件的描述详实生动,是一部了解近代日本不可多得的佳作。
  • 发明的故事

    发明的故事

    《发明的故事》是房龙最重要的著作之一,一经出版就风靡全球,影响了一代又一代人。房龙的文笔风趣幽默,若行云流水,让人不知不觉就进入了他用文字为我们构架的科学世界中。正如著名作家郁达夫形容的那样:“枯燥乏味的科学常识,经他那么一写,无论大人、小孩,读他书的人,都觉得娓娓忘倦了。”
  • 尸心不改

    尸心不改

    控尸门的欢乐二缺弟子江篱炼了一具美得人神共愤引得天雷阵阵的男尸,以为好日子开始了,结果没想到门派惨遭灭门。--情节虚构,请勿模仿
  • 傻子王爷无情妃

    傻子王爷无情妃

    一只毒蝎子,彻底断送了她年轻的生命!别人只知道,那个软弱没主见的女人被迫嫁给一个痴傻呆闷的七皇子。殊不知,她早已不再是“她”!面对痴傻只会憨笑的美男,她气愤难填!你傻,本美女就医好你,谁知医好后,遭到嫌弃,却换来一纸休书,气愤之下,她恨不得与他同归于尽……
  • 惊涛骇浪:世界大海难揭秘

    惊涛骇浪:世界大海难揭秘

    本书是一部纪实文学,选取了世界海难史上十个著名的海难事件,以事件发生时的史料为基础,挖掘海难背后的故事,力图表现人类在面临灾难时所呈现出来的人性光辉。并附1912年以来主要海难事件概览和遭遇海难自我避险小贴士,使读者在了解历史事件的同时,也得到灾难避险的知识。
  • 庄主,放我出去

    庄主,放我出去

    苏瑶儿,豪门大小姐穿越成恶名昭著,嗜血成性的女魔头——花婼。因前身势力过大,树敌过多,一穿越就成为了人们的眼中钉,身边危机四伏。夏紫寒,天下第一庄庄主,一双紫眸睥睨天下,性格阴晴不定,乃世人最敬畏的妖孽美男。他目空一切,却惟独对她情有独钟,娶她进门,宠爱有加,将她保护在自己的羽翼之下,甚至到了癫狂的地步。古人云:无辜献殷勤非奸即盗。那妖孽如此宠她,必有奸计。天生好动的她,不甘被囚于小院之中,想方设法想要逃离。于是,她恃宠而骄,调皮捣蛋,无恶不作,将天下第一庄闹得鸡犬不宁,鸡飞狗跳,身边却桃花不断…他始终如一,宠她上天。面对部下的不满和投诉,他慵懒的回答,“我宠的,怎么着?”且看妖孽腹黑美男子如何收服恶搞小妖精,打败情敌,独占夫人闯天下。*片段一“主人,不好了,夫人烧了您书房里最宝贵的画作…”下人慌忙禀告。“嗯?烧了正好,本座也看厌了…”“主人,大事不好了,夫人把轩辕国皇帝送来锦鲤给吃了…”“什么?!夫人在何处,快带本座去,本座早就想吃了…”“主人,夫人把表小姐推到湖里去了。”“主人,夫人跳墙出去了…”某男终于抓狂,“什么?立刻给我抓回来…花婼,你别想逃!”*片段二“夫君,你为什么长这么好看?”某女一脸纯真,笑得纯洁无暇。“因为夫人你喜欢。”某男额头滴汗。“我喜欢?谁说的…我去阉了他。”“难道你不喜欢?嗯?”某男逼近,一双小眼睛迷城一条线。伸手将她捞到床上,随时准备调教。“呵呵,有话好好说,是我说的,是我,我阉了自己还不行么…喂,你别乱来,再摸我要咬人了,啊,救命啊…”屋子里发出了一片欢愉的叫声…
  • 善于变通

    善于变通

    穷则思变,变则思通。穷则变,变则通,通则久。让问题迎刃而解,让人生游刃有余。四两拨千斤的睿智,败局变胜局的法宝;走出职场迷途的罗盘,告别人生困境的圭臬;战胜职场危机的利刃,走向人生成功的秘诀。山重水复+变通=柳暗花明,穷途末路+变通=康庄大道。