登陆注册
3236900000002

第2章

泥版的故事

19世纪前期,人们在亚洲西部伊拉克境内发现了50万块泥版,上面密密麻麻地刻有奇怪的符号。这些符号是古巴比伦人所用的文字,现在人们称它为“楔形文字”。科学家经过研究,弄清了泥版上所记载的,是古巴比伦人已获得的知识,其中包括了大量的数学知识。

古代人最初用石块、绳结,后来又用手指来记数。一个指头代表1,两个指头代表2,……,当数到10时,就得重新开始,巴比伦人由此产生了逢十进一概念。又因为,一年中月亮有12次圆缺,一只手又有5个指头,12×5=60。这样,他们又有了隔60进一的记数法。他们用表示1,表示10,从1到9是把写相应的次数,从10到50是把和结合起来写相应的次数。例如35写成。这种记数的方法,影响了后人,产生了现在我们所用的十进制和六十进制。例如,时间分为1小时=60分,1分=60秒。

巴比伦人还掌握了许多计算方法,并且编制各种数表帮助计算。从那些泥版上,人们发现巴比伦人已有了乘法表、倒数表、平方和立方表、平方根和立方根表。他们还运用了代数概念。

巴比伦泥版上还有这样的问题:兄弟10人分123米那的银子(米那及后面的赛克尔都是古代的重量单位,其中1米那=60赛克尔),已知他们分得的银子数成等差数列,而且第八个人的银子为6赛克尔,求每人所得的银子数量。从这样一些例子中,科学家认识到了巴比伦已知道等差数列、等比数列的概念。

巴比伦人也具备了初步的几何知识。他们会把不规则形状的田地分割为长方形、三角形和梯形来计算面积,也能计算简单的体积。他们非常熟悉等分圆周的方法,求得圆周与直径的比π≈3,还使用了勾股定理。

他们的成就对后来数学的发展产生了巨大的影响。

金字塔和纸草书

闻名世界的埃及金字塔,几百年来不仅以它宏伟高大的气势,吸引了无数旅游观光者,而且由于它设计的别致,建造的精巧,吸引了世界各地的科学家。据对最大的胡夫金字塔的测算,发现它原高1465米(现因损坏还高137米),基底正方形每边长233米(现为227米)。但是,各底边长度的误差仅仅是16厘米,只是全长的114600;基底直角的误差只有12″,仅为直角的127000。此外,金字塔的四个面正向着东南西北,底面正方形两边与正北的偏差,也分别只有2′30″和5′30″。

这么高大的金字塔,建造精度如此之高,这使得科学家深信,古埃及人已掌握了丰富的知识。当科学家破译了古埃及人流传下来草片上的文字后,这一猜想得到了证实。

原来,在尼罗河三角洲盛产一种形状如芦苇的水生植物——纸莎草,古埃及人把这种草从纵面剖成小条,拼排整齐,连接成片,压榨晒干,用来写字,在纸莎草上写的字,叫纸草书。

如今将这种纸草书的一部分整理出来。

1822年,一位名叫高博良的法国人弄清了它们的含义,使人们知道,古埃及人已学会用数学来管理国家和宗教事务,确定付给劳役者的报酬,求谷仓的容积和田地的面积,按土地面积估计应该征收的地税,计算修造房屋和防御工程所需要的砖块数;计算酿造一定量酒所需的谷物数量;等等。换成数学的语言就是,古埃及人已经掌握了加减乘除运算、分数的运算;他们解决了一元一次方程和一类相当于二元二次方程组的特殊问题。纸草书上还有关于等差数列和等比数列的问题。他们计算矩形、三角形和梯形的面积,长方体、圆柱体、棱台的体积等结果,与现代计算值相近。更令人惊奇的是,他们用公式A=(89d)2(d为直径)来计算圆面积,这相当于取π值为31605,这是非常了不起的。

由于具有了这样的数学知识,古埃及人建成金字塔就不足为怪了。

佛掌上的“明珠”

印度是个信奉佛教的国度,古印度人对古代数学的贡献,犹如印度佛掌上明珠那样耀眼、令人注目。

在公元前3世纪,印度出现了数的记号。在公元200年到1200年之间,古印度人就知道了数字符号和0符号的应用,这些符号在某些情况下与现在的数字很相似。此后,印度数学引进十进位制的数字和确立数字的位值制,大在简化了数的运算,并使记数法更加明确。如古巴比伦的小记即可以表示1,也可以表示160,而在印度人那里,符号1只能表示1单位,若表示十、百等,须在1的后面写上相应个数的0,现代人就是这样来记数的。

印度人很早就会用负数来表示欠债和反方向运动。他们还接受了无理数概念,在实际计算中把适用于有理数的运算步骤用到无理数中去。他们还解出了一次方程和二次方程。

印度数学在几何方面没有取得大的进展,但对三角学贡献很多。这是古印度人热衷于研究天文学的副产品。如在他们计算中已经用了三种三角量:一种相当于现在的正弦,一种相当于余弦,另一种是正矢,等于1cosa,现在已不采用。他们已经知道三角量之间的某些关系式。如sin2α+cos2α=1,cos(90°-α)=sinα等,还利用半角表达式计算某些特殊角的三角值。

数学之桥

阿拉伯人对古代数学的贡献,早现在人们最熟悉的1、2、…9、0十个数字,称为阿拉伯数字。但是,在数学发展过程中,阿拉伯人主要是吸收、保存了希腊和印度的数学,并将它传给欧洲,架起了一座“数学之桥”。

在算术上,阿拉伯人采用和改进了印度的数字记号和进位记法,也采用了印度的无理数运算,但放弃了负数的运算。代数这门学科的名称就是由阿拉伯人发明的。阿拉伯人还解出一些一次、二次方程,甚至三次方程,并且用几何图形来解释它们的解法。如对于方程x2+10x=39,他们的几何解法如下:作一个正方形,假定它的边长为未知数x,然后在经四边上,向外作x=52的矩形。将整个图形扩充成边长为x+5的正方形,整个大正方形面积等于边长为x的正方形面积与边为52的四个正方形面积及边长各为x、52的四个矩形面积之和。所以大正方形面积是x2+4x×52×x+4×52×52,即x2+10x+25。因为x2+10x=39,所以大正方形面积等于39+25即是64。因此,大正方形边长等于8,而x就是8-252=3。阿拉伯人还用圆锥曲线相交来解三次方程,这是一大进步。

阿拉伯人还获得了较精确的圆周率,得到了2π=6283185307195865,π已计算到17位。此外,他们在三角形上引进了正切和余切,给出了平面三角形的正弦定律的证明。平面三角和球面三角的比较完整的理论也是他们提出的。

阿拉伯数学作为“数字之桥”,还在于翻译并着述了大量数字文献,这些着作传到欧洲后,数字从此进入了新的发展时期。

数学的摇篮

巴比伦人和古埃及人积累了许多数学知识,但他们只能回答“怎么做”,却无法回答“为什么”要这么做的道理。古希腊人从阿拉伯人那里学到了这些经验,进行了精细的思考和严密的推理,才逐渐产生了现代意义上的数学科学。

第一个对数学诞生作出巨大贡献的是泰勒斯。他曾利用太阳影子计算了金字塔的高度,实际上就是利用了相似三角形的性质。他弄清了:直角彼此相等;等腰三角形的底角相等;圆被任一直径平分;如果两个三角形有一边及这边上的两个角对应相等,那么这两个三角形全等;而且证明了这些知识。这些知识现在看起来很简单,但在当时是非常了不起的。

在仄勒斯之后,以毕达哥拉斯为首的后批学者对数学作出了贡献。他们最出色的成就之一是发现了“勾股定理”,在西方被称为“华达哥拉斯定理”。正是用了这一定理,后来导致了无理数的发现,引起了第一次数学危机。

稍晚于毕达哥拉斯的芝诺,提出了四条着名的悖论,对以后数学概念的发展产生了重要的影响。

经过泰勒斯到芝诺等人的努力,古希腊的数学有了全新的发展。欧几里德吸取其中的精华,写成了《几何原本》这本在数学史上最有名的着作。今天人们所学的平面几何学知识,都来源于这本书。

继欧几里德之后,阿基米德开创了希腊数学发展的新时期,人们称之为亚历山大时期,阿基米德在数学方面的工作,远远超越了他那个时代,被后人称为“数学之神”。他设计过一种大数体系,即使整个宇宙都填满了细小的砂粒,也可以毫不费力地把砂子的粒数数出来。他通过作边数越来越多的内接正多边形、外切正多边形,算得了圆周率的值在31071到371之间。他得到了求面积和求体积的公式,还发明了以他名字命名的螺钱。

在阿基米德之后,古希腊的数学更加侧重于应用。在天文学发展的促进下,希帕恰斯、梅尼劳斯、托勒密创立了三角学。尼可马修斯写出了第一本专门的数论曲籍——《算术入门》,丢番图则系统地研究了各种方程,特别是各种不定方程。这们,初等数学的各个分支——算术、数论、代数、几何、三角全部建立了起来,这意味着,由巴比伦人、古埃及人孕育的数学“婴儿”,终于在古希腊的摇篮中诞生了。

几何学的奠基人

两三千年前,古埃及人生活在尼罗河两岸,生产力很发达,大片大片的土地被开发。但是,人类无法与大自然抗争,当时的人们对洪水束手无策。每年,当夏秋季节尼罗河泛滥时期,河两岸的田地就有不少被洪水淹没或因河床改道,好端端的一块农田就会被吞没一块。每到这时,就会有几个聪明的埃及人拿着木棍绳子又比又量,准确地计算法老租给人们土地面积的变化。渐渐地,埃及人积累了不少计算面积的公式。如:

矩形:A=ab(其中A是面积,a是长,b是宽。)三角形:A=ah/2(其中a是边长,h是高。)另外,还能计算出梯形面积。而当时计算圆形面积的公式(8d/9)2,和如今的计算公式极为相近。

但是,当时的人们还没有把这些公式命名为几何学。

到了公元前320年,有一位叫作欧德谟的学者,根据埃及人的经验,写了一本《几何学的发展史》。这部书只有残篇传到了现在。又过了大约20年,古希腊出了一位叫欧几里得的人,他根据前人的经验,经过自己的计算推理,写出了一本共13篇的《原本》(又称《几何原本》)。这是人类第一次出现的“几何”概念。

欧几里得在《原本》这本书里,首先给出的是定义和公理。比如,他的点、线、面的概念:

点是只有位置没有大小的;线是只有长度没有宽度的;面是只有长度和宽度的;平行线是同一平面内无限延长后永不相交的两条直线;……这些定义和现今的几何定义极为相似。

欧几里得还按照逻辑原理,推论出十分严谨美妙的五条公理(又称“公设”)。其中有:

从一点到另一任意点作直线是可能的;所有的直角都相等;a=b,b=c,则a=c;若a=b,则a+c=b+c;《原本》中还有关于圆的性质的讨论。如弦、切线、割线、圆心角等等。讨论了圆的内接和外接图形。其中,有一个命题是在一个圆内作正15边形。

据说,当时的天文学一直认为地球赤道面与地球绕日公转面的交角是24°,即是圆周的1/15。于是,欧几里得运用自己的智慧,作出了正15边形,这在当时是一个难度十分大的命题。

《原本》13篇中共有467个命题。这些命题和推理所建立起来的几何学体系是相当严谨和完整的,以至于连20世纪最伟大的科学家爱因斯坦都这样说:一个人当他最初接触欧几里得几何学时,如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动,那么他是不会成为科学家的。

从《原本》的出现到现在,这部书出版过一千次以上,几乎世界上所有的杰出数学家,都是读着《原本》成长起来的。两千多年来,《原本》就像一尊坚固的宝塔,其坚固程度没有人能撼动它。因此,后人,尤其是科学界都把《原本》看作是一部经典奇书,而欧几里得的名字,也同《原本》一道流传千古。

欧几里得大约生于公元前330年,死于公元前275年。可惜的是,他一生的经历久已失传。

数学竞赛判真伪

1500年的某天,意大利北部的布里西亚,一户人家生了一个男孩,取名叫丰坦那。不久,意大利与法国发生战争,法军攻陷了布里西亚地区,大肆屠杀意大利人。丰坦那的父亲死于战祸,小丰坦那的头部和下颚也受了重伤。好在他的母亲是一位聪明而勇敢的妇女,她见儿子受伤,又没有医生看病治疗,她就想到了狗用舌头舔愈伤口的情景。于是,她也学着这个方法,用自己的舌头治好了儿子的伤口。

谁知痊愈后的小丰坦那却得了一个口吃的毛病,说话不连贯,人们就给他取个外号叫塔尔塔利亚(意译为口吃者)。久而久之,塔尔塔利亚就成了他的名字,丰坦那的名字也被人忘记了。

因为父亲死于战乱,塔尔塔利亚的家境十分贫寒,母亲无力送他上学读书。但是,塔尔塔利亚从小求知欲极强,母亲就在他父亲坟墓的石板上教他认字、算题。由于他天资聪明,意志坚强,竟独自学会了拉丁文和希腊文,对数学的钻研成绩更为突出。经过长期自学,成人后,他终于取得了成功,先后在他的家乡布里西亚和威尼斯等地从事教学工作。

塔尔塔利亚专门喜欢解各种数学难题,在这方面不少数学爱好者败在他的手下。

1530年的一天,有一位叫科拉的数学教师向塔尔塔利亚提出两道数学难题进行挑战:

1一个数的立方加上它的平方的3倍等于5,求这个数。实际上是一个一元三次方程,即:x3+3x2=52三个数,第二个数比第一个数多2,第三个数比第二个数多2,三个数的乘积是1000,求这三个数各是多少。实际上这也是一个一元三次方程,即:x(x+2)(x+2+2)=1000,展开后是x3+6x2+8x=1000当时,人类还没有找到三次方程的解法。塔尔塔利亚于是全身心地投入进去,废寝忘食地解这两道题。不久,居然让他解开了,并因此找到了解开一元三次方程的办法。于是,塔尔塔利亚向外公开宣称,他已经知道了一元三次方程的解法,但不能公开自己的步骤,他要保密。此时,有一位叫菲俄的人也宣称,他也找到了解开一元三次方程的办法,并宣称,他的方法是得到了当时着名数学家波伦那大学教授费罗的真传。

他们二人谁真谁假?谁优谁劣?于是,1535年2月22日,在意大利有名的米兰大教堂里,举行了一次仅有塔尔塔利亚和菲俄参加的数学竞赛。竞赛内容专门限于一元三次方程。他们各自给对方出30道题,谁解得对解得快谁就得胜。两个小时之后,塔尔塔利亚解完了全部30道题,而菲俄却一道题也解不出来。竞赛结果,塔尔塔利亚大获全胜。

原来,一元三次方程的问题是1404年被人引起来的。

同类推荐
  • 爱情精选

    爱情精选

    我们中小学生必须要加强阅读量,以便提高自己的语文素养和写作能力,以便广开视野和见识,促进身心素质不断地健康成长。但是,现在各种各样的读物卷帙浩繁,而广大中小学生时间又十分有限,因此,找到适合自己阅读的读物,才能够轻松快速地达到阅读的效果。
  • 哈佛优等生的学习方法和培养细节

    哈佛优等生的学习方法和培养细节

    哈佛优等生的成功.除了他们有一套行之有效的学习方法之外,还取决于他们在点滴之间培养起来的智慧和能力。本书汲取百年哈佛培养优等生的经典智慧,全方位、多角度地对哈佛优等生的学习方法和培养细节进行了细致的阐释和归纳。旨在为广大青少年和家长朋友们提供一个可以借鉴和学习的读本。
  • 战争与和平(语文新课标课外必读第五辑)

    战争与和平(语文新课标课外必读第五辑)

    国家教育部颁布了最新《语文课程标准》,统称新课标,对中、小学语文教学指定了阅读书目,对阅读的数量、内容、质量以及速度都提出了明确的要求,这对于提高学生的阅读能力,培养语文素养,陶冶情操,促进学生终身学习和终身可持续发展,对于提高广大人民的文学素养具有极大的意义。
  • 优秀小学生分类作文一点通

    优秀小学生分类作文一点通

    本书打破传统作文书的枯燥刻板,采用全彩四色印刷,根据作文内容插配了精美的图片。加上新颖别致的装帧设计,变化多样的版式,为小学生打造了学习作文、提升自我的全新平台,让阅读成为一种享受,让作文成为一种时尚,让学习成为一种快乐
  • 别笑,我是高考零分作文(第1季)

    别笑,我是高考零分作文(第1季)

    最雷人、最搞笑、最荒诞、最天才的零分作文,高考一族的减压零食,都市白领的幽默早餐!另附小学生爆笑“撒谎作文”必杀篇,绝对挑战你的想象极限!《央视新闻频道》等28家电视台,《新华日报》《南方日报》《重庆晨报》等120家报纸、数千家网站报道推荐!
热门推荐
  • 宫斗:我的夫君是皇帝

    宫斗:我的夫君是皇帝

          一个野蛮凶悍被遗弃冷宫的妃子,一个冷酷无情风流成性的君王,暧昧纠缠。    
  • 妃上云宵

    妃上云宵

    她的一生是一个传奇。出生时是不详人,一道圣旨却令她麻雀变凤凰成为和亲公主。又因着她的绝世容貌,被太后钦册为美人,成为对付受宠昭仪的棋子。她生性单纯率真,如何能圆滑的在宫中生存?她一点也不想侍伴君侧,可谁来救她出苦海?俊逸太子斗胆向老爹请呈:父皇,赏她给儿臣做太子妃。倾刻间,她从他的女儿变成他的女人,又变成他的儿媳。可为何,高贵的天子,在见到她的那一刻心肝惊痛一下......以为能躲过尔虞我诈的宫斗,却不料皆是命中注定宠绝后宫。一步步血腥谨慎,她能否到达荣极的云宵?
  • 尸心不改

    尸心不改

    控尸门的欢乐二缺弟子江篱炼了一具美得人神共愤引得天雷阵阵的男尸,以为好日子开始了,结果没想到门派惨遭灭门。--情节虚构,请勿模仿
  • 中学生珍藏一生的美文

    中学生珍藏一生的美文

    《品悟成长心灵书系》之《中学生珍藏一生的美文(第1季珍藏版)》,书中包括了:《笨小孩的成长》、《精彩极了和糟糕透了》、《少年哀歌》、《我为什么而活着》、《真实的高贵》、《假如给我三天光明》、《我要笑遍世界》、《人人想当别人》、《机会在敲门》、《哨子》、《爱怕什么》、《不死鸟》、《读书示小妹生日书》、《对陌生人的责任》、《回家》等作品。
  • 无敌大小姐

    无敌大小姐

    当现代阴狠毒辣,手段极多的火家大小姐火无情,穿越到一个好色如命,花痴草包大小姐身上,会发生怎样的化学反应?火无情一醒过来就发现,自己竟然在众目睽睽之下上演脱衣秀。周围还有一群围观者。这一发现,让她极为不爽。刚刚穿好衣服,便看到一个声称是自家老头的老不死气势汹汹的跑来问罪。刚上来,就要打她。这还得了?她火无情从生自死,都是王者。敢动她的人,都在和阎王喝茶。于是,她一怒之下,打了老爹。众人皆道:火家小姐阴狠毒辣,竟然连老爹都不放在眼里。就这样,她的罪名又多了一条。蛇蝎美人。穿越后,火无情的麻烦不断。第一天,打了爹。第二天,毁了姐姐的容。第三天,骂了二娘。第四天,当众轻薄了天下第一公子。第五天,火家贴出招亲启事:但凡愿意娶火家大小姐者,皆可去火府报名。来者不限。不怕死,不想活的,欢迎前来。警示:但凡来此,生死皆与火家无关。若有残病者火家一律不负法律责任。本以为无人敢到,岂料是桃花朵朵。美男个个很妖娆一号美人:火无炎。火家大少爷。为人不清楚,手段不清楚。容貌不清楚。唯一清楚的是,他有钱。有多多的钱。火无情语录:钱是好东西。娶了。(此美男,由美瞳掩饰不了你眼神的空洞领养。)火老爷一气之下,昏了过去。家门不幸,家门不幸啊。二号美人:竹清月。江湖人称天上神仙,地上无月。大国师一枚。美得惊天动地。火无情语录:美人好,尤其是自带嫁妆又会预测未来的美人,娶了。(此美男,由东de琳琳领养)三号美人:轩辕子玉。当朝七皇子,游历四国。一张可爱无敌的脸。单纯至极。火无情语录:可爱的孩子好,可爱又乖巧的孩子更好。可爱乖巧又不用给钱的孩子,娶了。(此美男,由刘千绮领养)皇帝听闻,两眼一抹黑。他的儿啊。怎么就这么不争气呢。四号美人:天下第一美男。性格不详,籍贯不详。火无情语录:谜一样的美人,她喜欢。每天都有新鲜感。娶了。(此美男,由告别的爱情li领养。)五号美人:天下第一名伶。火无情语录:解风情的美男,如果没钱花把他卖了都不用调教。娶了。(此美男由伊眸领养。)六号美男:解忧楼楼主。相貌不详,身世不详。爱好杀人。火无情语录:凶恶的美人,她喜欢。娶了。(此美男由陈铭铭领养)七号美男:琴圣。貌如谪仙,琴音杀人。冷清眸子中,百转千回,说尽风流。(此美男由伊眸领养)夜杀:天下第一杀手。(此美男由静寂之夜领养)
  • 怎样与竞争对手合作

    怎样与竞争对手合作

    在传统的你死我活的竞争中,“冤家路窄”、“宁为鸡首,无为牛后”、“各以所长相轻所短”等观念常常会限制对手之间的沟通,甚至破坏对手之间的合作,使得合作条款只不过是一纸辞藻华丽的空文。本书教你如何与你的竞争对手握手言“合”,获得双赢。
  • 爸爸妈妈最难回答的问题

    爸爸妈妈最难回答的问题

    好奇是成长的原动力。在科学史上,许多重大的发明发现都与科学家小时候好奇心强密切相关。 愿意思考、喜欢探索是孩子的一种天性。每个健康的孩子都会这么做的。对许多家长来说,孩子的问题是许多欢乐和烦恼的源头。那么,如何面对对什么都充满好奇的孩子?善意的谎言或者是支支吾吾的解释?其实都不必要。本书作者辑纳了孩子最常提出的一百多个问题,根据孩子的年龄和生长发育特点有针对性地进行了回答,并请专家进行了分析和点评,无疑是一本父母必备的“问题宝典”。
  • 谁偷走了你的快乐

    谁偷走了你的快乐

    中国很早就认识到“大怒气逆伤肝。”我国着名心血管专家洪昭光如是说:“我们一般人到了50岁,因动脉硬化每年血管都大约会狭窄1%~2%,如果你抽烟,或患有高血压病、高血脂病,可能狭窄3%~4%或更多,若是要生气着急,一分钟动脉就可能痉挛狭窄100%,当时就死,情绪就这么厉害。”
  • 名门大少后院穿来个恶主母!

    名门大少后院穿来个恶主母!

    常言道,商场如战场。当真是如此。也许,上一秒还是让所有人仰望的大公司董事长,下一秒,就成了人人为之惋惜,甚至,幸灾乐祸的负债人士。人生,往往比股票还要跌宕起伏。说的就是如此。就好像现在。这众人皆知的慕家,上一秒,还可以全家人一起的去五星级酒店。下一秒,竟然是被赶落街头。全家人乞讨为生。全部资产,全都被一个神秘人给收购了。此刻,曾经慕家的宅子内,一个女子坐在这豪宅内,名贵的沙发……
  • 总裁之剩女候嫁

    总裁之剩女候嫁

    社会的发展越来越快,生活的节奏越来越快,时间也叫人感觉到越来越快,冯洁下意识抬头看了看挂钟,8点20分了,深深长叹了口气,紧张的一天游快结束,还有40分钟就熬出头了,这个时间几乎没有几个顾客了,合计小票准备对账,一会来顾客在在加上就好了,心里想着便在柜台上开始合计金额。“服务员,麻烦你帮我拿一盒藿香正气水。”冯洁抬起头看见一个中年男子边走边说着向她这走来,一只手捂着肚子,脸……