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第3章

当时意大利着名数学家巴巧利说:“x3+mx=n,x3+n=mx之不可解,正像化圆为方问题一样。”谁知此问题提出不久,就被费罗解出了。1510年,他将方法透露给了他的学生菲俄。于是,当塔尔塔利亚宣称他找到一元三次方程解法时,便出现了要举行竞赛的事情。

初时,塔尔塔利亚面对出名的学者未免心虚,因为他的方法还不完善。据说在竞赛之前的10天,即2月12日深夜,塔尔塔利亚一夜未睡,直至黎明。他头脑昏昏,走出室外,伸伸懒腰,吸吸新鲜空气。顿时,他的思路豁然开朗,多日的深思熟虑,终于取得了结果。因此,才在竞赛中大获全胜。

为了使自己的成果更完善,塔尔塔利亚又艰苦努力了6年,才在1541年真正找到一元三次方程的解法。很多人请求他把这种方法公布出来,但却遭到他的拒绝。原来,塔尔塔利亚准备在译完欧几里得和阿基米德的着作之后,再把自己的发明发现写成一本专着,以便流传后世。

在这之前60几年,米兰有一位学者卡当,对一元三次方程的问题十分感兴趣,苦苦央求塔尔塔利亚把解法告诉他,并起誓发愿,决不泄密。1539年,塔尔塔利亚被卡当的至诚之心所动,就把此法传授给他。

卡当是意大利的数学家,后来又开业行医,也常常为人占卜,曾受雇于教皇当过占星术士。没过多久,卡当背信弃义,写成了一部叫《大术》的书。此书1545年在纽伦堡出版发行。在书中,卡当公布了一元三次方程的解法,声称这是他的发明。当时人们信以为真,便把三次方程的求根公式称为“卡当公式”。

在《大术》一书中,卡当说:“大约在30年前,波伦那的费罗教授发现了这一法则,并传授给了威尼斯的菲俄,菲俄曾与塔尔塔利亚进行过公开竞赛。塔尔塔利亚也发现了这一方法,他在我的恳求下,把三次方程的解法告诉了我,但是没有给出证明。借助塔尔塔利亚的帮助,我找到了几种证明方法,它是非常困难的。”

卡当的背信弃义激怒了塔尔塔利亚,他向卡当宣战,要求进行公开竞赛。双方各拟31道试题,限期15天完成。卡当临阵怯场,只派了他的一个高徒应战。结果,塔尔塔利亚在7天之内就解出了大部分试题,而卡当的高徒仅做对一题,其余全是错的。接着,二人又进行了一场激烈的争鸣和辩论。就这样,人们才明白事情的真相,塔尔塔利亚才被人们知道,他才是一元三次方程求根公式的真正发明人。

塔尔塔利亚经过这场风波之后,准备心平气和地把自己的成果写成一部数学专着,可是他已经心力憔悴,1557年,他没有实现自己的愿望就与世长辞了。

代数之父

16世纪末,法国在同西班牙的战争中,西班牙依仗着密码,在法国境内秘密地自由通讯,交通情报,结果使法军连连败退。法国国王请来当时很有名望的数学大师韦达进行帮助,韦达借助数学知识,成功地破译了一份西班牙的数百字的密码,从而使法国只用两年时间就打败了西班牙,韦达在这次战争中立了大功。但是,西班国王菲力普二世向教皇控告说,法国人在对付西班牙时采用了魔术。于是,西班牙宗教裁判所,以韦达背叛上帝的罪名进行缺席判决,要将韦达处以焚烧的极刑。当然,宗教的野蛮刑法未能实现,韦达于1603年12月13日在巴黎逝世,终年63岁。韦达死后,人们誉他为“代数之父”。

韦达于1540年生在法国的丰特内,本名叫佛兰西斯·韦埃特。韦达是他的拉丁名字。他的专业是学律师的,曾任过布列塔尼议会议员、那瓦尔的亨利亲王的枢密顾问官。他对天文学、数学有着浓厚的兴趣,经常利用业余时间研究数学。1584年到1589年,由于他在政治上处于反对派地位,被免去了官职。从此,他便专心致力于数学的研究。

在从政期间,韦达研究丢番图、塔尔塔利亚、卡尔丹诺、邦别利、斯提文等人的着作。他从这些名家,特别是从丢番图那里,获得了使用字母的想法。

在韦达之前的一些大学者,包括欧几里得、亚里斯多德在内,虽曾用字母代替过特定的数,但他们的用法不是经常的、系统的。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母代替数进行数学运算的人。他不仅用字母表示未知量和未知量的乘幂,而且还用来表示一般系数。通常,他用辅音字母表示已知量,用元音字母表示未知量。他的做法是划时代的,从而奠定了代数学的基础,对代数的国际通用语言的形成起到了极为重要的作用。

1591年,韦达出版了他的代数学专着《分析方法入门》,这是历史上第一部符号代数学。它明确了“类的算术”和“数的算术”的区别,即代数与算术的分界线。

据载,韦达还以他精湛的数学知识,为国家赢得了荣誉。

当时,比利时有一位数学家,名叫罗梅纽斯,深受国王推崇,国民也深感自豪和骄傲。一次,比利时的大使向法国国王亨利四世夸口道:“你们法国还没有一个数学家能解开我国数学家罗梅纽斯的一个关于45次方程的求根问题。”

原来,这道45次方程是罗梅纽斯于1573年在他的《数学思想》一书提出来的。

面对比利时的挑战,亨利四世决定在国内挑选数学家来解开此题,以长国威。谁知找了不少数学教授都找不到答案,国王心里十分烦闷,如同丧权辱国一般。

一天,国王将此题给韦达看,韦达说:“一个相当简单的问题,我马上就能给出正确答案。”因为韦达看出,这个方程是依赖于sin45θ与sinθ之间的关系,所以几分钟内就求出了两个根。国王见了答案,高兴地说道:“韦达是我国乃至全世界最伟大的数学家。”接着便赏给韦达500法郎。

韦达生前写出不少着作,但多数没有出版发行。有一部《论方程的整理与修改》,是在他去世12年后才出版的。

在书中,韦达把5次以内的多项式系数表示成其根的对称函数。他还提出了4个定理,清楚地说明了方程的根与其各项系数之间的关系——即韦达定理。此定理至今仍在使用。他还为一元三次方程、四次方提供了可靠的解法,为后来利用高等函数求解高次代数方程开辟了新的道路。

另外,韦达利用欧几里得的《几何原本》第一个提出了无穷等比级数的求和公式,发现了正切定律、正弦差公式、纯角球面三角形的余弦定理等。韦达利用代数法分析几何问题的思想,正是后来的数学家笛卡尔解析几何思想的出发点。笛卡尔说他是继承韦达的事业。

直到1646年,韦达死后的40多年之后,他的全部着作才由荷兰数学家范·施库腾等人整理成书,名为《韦达全集》。

解析几何的问世

1617年,荷兰奥伦治公爵的军队里来了一名22岁的博士生,他就是伟大的数学家笛卡尔。

一天,部队开到布雷达城,无所事事的笛卡尔漫步在大街上,忽然看见一群人围在一起议论纷纷,原来在一堵墙上贴着一张几何难题的悬赏启事。启事上说,谁能够解开此题谁就能获得本城最优秀的数学家称号。笛卡尔出于好奇心抄下题目,回到军营,专心致志地研究这道几何难题。经过潜心钻研,两天后,他终于求得了答案,由此使他数学天才初露锋芒。

荷兰多特学院院长毕克曼十分赏识笛卡尔的才华,劝他说:“你有深厚的数学基础,才思敏捷,很适合数学研究。

离开军队吧,我相信你将来会成功的。”

笛卡尔没有离开军队,但仍然迷恋数学,尤其想碰一碰古希腊几何三大问题。说起这三大问题,还有一个很古老的传说:

大约是2300多年前,古希腊的第罗斯岛上,一场可怕的瘟疫正在蔓延,人们生活在死亡的恐怖之中。他们来到神庙前祈求:“万能的神啊,请赐予我们平安吧!”谁知神庙里的主人欺骗这些可怜的人们说:“我忠实的信徒们,神在保佑着你们,只要你们把上供的正方体祭坛,在不改变原来形状的情况下,把它的体积增大到原来的两倍,神就会高兴,就能免除你们的灾难。”

濒于死亡的人们听后立即去改造神的祭坛,他们把祭坛的每边棱长扩充到原来的两倍。但神庙的主人看后说:“这哪里是原来的两倍,这是原来的八倍了。神不高兴啊!”

人们听后赶忙拆了重建,他们把体积改成了原来的两倍,可形状却是一个长方体。神庙的主人训斥道:“该死的信徒们,你们怎么把祭坛的形状改变了呢,这不是戏弄神吗?当心还有更大的瘟疫!”

惊慌失措的人们急忙去找着名的学者柏拉图,把希望寄托在这位大智者的身上。谁知柏拉图和他的学生们无论怎么用直尺和圆规去画,也同样找不到正确的办法,于是,立方倍积问题便成了一道几何难题。

后来,希腊人又碰到了把一个已知角分成三等分和化圆为方问题(即求一个正方形,使它的面积等于一个已知圆的面积)。

从此,立方倍积、三等分角、化圆为方这三个问题一直困扰着世世代代的数学家,不少人为此呕心沥血,穷毕生精力也找不到答案。这样一直延续了2000年。

笛卡尔认真总结前人的大量经验教训后猜想,古希腊三大几何难题,采用尺和规作图的办法。是不是本来就作不出呢?应该另找一条道路才是。

1621年,笛卡尔退出军界,与数学家迈多治等朋友来到巴黎,潜心研究数学问题。1628年,他又移居资产阶级革命已经成功的荷兰,进行长达20年的研究。这是他一生最辉煌的时期。

一天,疲惫不堪的笛卡尔躺在床上,望着天花板思考着数学问题。突然,他眼前一亮,原来,天花板上有一只蜘蛛正忙碌地编织着蛛网。那纵横交错的直线和四周的圆线相交叉一下子启发了他。困扰他多年的“形”和“数”问题,终于找到了答案。他兴奋地爬了起来,迫不及待地把灵感描绘出来。他发现了这样的规律,如果在平面上画出两条交叉的直线,假定这两条直线互成直角,那么就出现四个90度的直角。在这四个角的任一个点上设个位置,就可以建立起点的坐标系。

这个发现的基本概念简单到近乎一目了然,但却是数学上的伟大发现。它就是建立了平面上点与坐标(x、y)之间的对应关系。进一步构成了平面上点与平面上曲线之间的对应关系。从而把数学的两大形态——形与数结合了起来。不仅如此,笛卡尔还用代数方程描述几何图形,用几何图形表示代数方程的计算结果。于是,创造出了用代数方法解几何问题的一门崭新学科——解析几何。

解析几何的诞生,改变了从古希腊以来,延续两千年的代数与几何分离的趋向,从而推动了数学的巨大发展。虽然,笛卡尔在有生之年没有解开古希腊三大几何问题,但他开创的解析几何却给后人提供了一把钥匙。

解析几何的重大贡献,还在于它提供了当时科学发展迫切需要的数学工具。17世纪资本主义迅速发展,天文和航海等科学技术对数学提出了新的要求。例如,要确定船只在海上的位置,就要确定经纬度;要改善枪炮的性能,就要精确地掌握抛物体的运行规律。所有这些,涉及到的已不是常量而是变量。

和牛顿比肩的数学家

1684年,《学术学报》上发表了德国数学家莱布尼茨的一篇文章,宣布他发现一种微分法,即“一种求极大极小和切线的新方法,它也适用于分式和无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算”,1686年,他又发表了类似的文章,讨论“潜在的几何与分析不可分和无限”等。一年以后,物理学家牛顿出版了他的巨着《自然哲学之数学原理》,也谈到了他研究的求极大与极小的问题。实际上,他们俩人都发现了微积分的数学原理。于是,就有关创立微积分的优先权问题,发生了一场激烈的争论。遗憾的是,由于人们不明真相,使30多岁的莱布尼茨长期蒙受冤屈。1699年,瑞士数学家法蒂奥德迪利给皇家学会写文章,说莱布尼茨的思想获自牛顿。接着,不少科学家接踵而至,都说莱布尼茨不是发明者。萨维尔天文学教授凯尔,则指控莱布尼茨是剽切者。为此,莱布尼茨参与了争论,辩白自己的冤枉。

但没有人相信他。1716年11月14日,莱布尼茨含冤逝世,朝廷竟不闻不问,教士们也借口说莱布尼茨是“无信仰者”而不予理睬。

直到莱布尼茨死后,英国皇家学会为牛顿和莱布尼茨发现微积分的优先权问题,专门成立了调查评判委员会。经过长期调查,终于弄清事实,委员会在《通讯》上宣布,牛顿的“流数术”和莱布尼茨的“无穷小算法”只是名词不同,实质上是一回事,他俩都是微积分的发明人。

原来事情是这样的,1676年,牛顿在写给莱布尼茨的信中,宣布了他的二项式定理,提出了根据流的方程求流数的问题。但在他们交换的信件中,牛顿却隐瞒了确定极大值和极小值的方法,以及作切线的方法等。而莱布尼茨在给牛顿的回信中写道,他也发现了一种同样的方法,并诉说了他的方法。这个方法与牛顿的方法几乎没有什么两样。二者的区别是:牛顿主要是在力学研究的基础上,运用几何方法研究微积分;而莱布尼茨主要是在研究曲线和切线的面积问题上,运用分析学方法引进微积分概念,得出运算法则。牛顿是在微积分的应用上更多地结合了运动学,造诣较莱布尼茨高出一筹。但莱布尼茨的表达式采用的数学符号,既简洁又准确地揭示出微分、积分的实质,远远优于牛顿。因此,他们二人发明微积分各有千秋。

莱布尼茨1646年6月21日出生于德国东部的莱比锡城。他的父亲是哲学教授,但在他6岁时父亲就过早去世了。然而,父亲留下的大量藏书却为莱布尼茨提供了丰富的知识源泉。

莱布尼茨8岁入学,少年时就可以用多种语言表达思想。15岁时考入有名的莱比锡大学,开始对数学发生兴趣。1666年,莱布尼茨转入纽伦堡的何尔道夫大学。这一年他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》,显示了他的数学才华。这篇论文,正是近代数学的一个分支“数理逻辑”的先声,他也因此成为数理逻辑的创始人。

大学毕业后,莱布尼茨获得法学博士学位,投身外交界。1672年3月他作为大使出访法国巴黎,为期4年。在巴黎工作之余钻研数学,结识了荷兰数学家惠更斯。并利用业余时间攻读笛卡尔、费尔马、帕斯卡等人的原着。为他步入数学王国的殿堂打下了坚实的基础。

1676年,莱布尼茨到汉诺威,在那里他博览群书,创立了微积分的基本概念和运算方法,成就了他一生最伟大的发明。

莱布尼茨陆续创立了一些表示微积分的符号:dx表示微分,即拉丁文“differentia”的第一个字母,意为“分细”。表示积分,即拉丁文“summa”的第一个字母“s”

拉长,意为“求和”。他创立的这些符号,为数学语言的规范化和独立化起到了极为重要的推动作用。这些符号一直用到今天。

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