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第13章 递推法(3)

假设朝上的是√,朝下是√或×的机会并不是1/2。

朝下的是√的机会有两个:一个是第一张卡片的正面朝上时;另一个是第一张卡片的反面朝上时。但朝下的是×的机会,只有当第二张卡片正面朝上的时候。也就是说,只要回答朝上那面的图案,他就有2/3的机会赢。

20.有名的数列

47。这同样是一个有名的数列,叫鲁卡斯数列,是仿斐波纳契数列,从第三个数字开始,每个数都等于它前面两个数之和。最神奇的是任意取两个相邻的数,然后用大数去除以小数,得到的结果是一个接近“黄金比例”1618……的数,而且越到后面越接近。

21.排队的顺序

如果F排在E后面的话,那顺序就是CEBFA,这样剩下的条件(4)和条件(5)无法同时满足,所以F肯定是在E的前面;

这样BCEF四个人的顺序是CF(FC)EB,因为E不是第五个,所以A和D不能都在E前面,两人也不能都在B的后面,所以顺序是CF(FC)AEBD(DEBA),无论哪种组合,第四位都是E。

22.古老的传说

每一轮都是偶数留下,轮到最后还是偶数留下,所以他是最后一名,即64号。

23.时钟密码

指针的位置作为数字,而不是时间。A式为51+123=174,B式为911+72=983,那么C式为113-16=97。

24.数字填空

4。图中数字排列的规律是:外圈每格两个数字相乘,其积等于内圈顺时针方向的下下格里的数字。

25.最少的砝码

如果物体放在天平的一端而砝码在另一端,那么你需要重量为1、2、4、8、16和32克6个砝码。但如果两端都可以放砝码,那么最少只需要1、3、9和27克4个砝码。

26.怪老头的玩意儿

27.上升还是下降

A会上升,B会下降。

28.孩子的数量

甲家共有3个孩子,姐姐、甲、弟弟,1个男孩,2个女孩;乙家有2个男孩和2个女孩;丙家有1个男孩和2个女孩。

29.凶杀案

因为王太太说了真话,由此可以推断赵师傅作了伪证,再进一步推断张先生和李先生说的都是假话,从而可以判断A和B都是凶手。

30.王先生的妻子

赵和孙属于相同年龄档,李和周不属于相同年龄档,3位女士小于30岁,两位女士大于30岁。所以赵、孙小于30岁。

钱和周的职业相同,孙和李的职业不同,两位女士是教师,其他3位女士是秘书。所以钱和周是秘书。因此,大于30岁的教师就只有李女士一人了。所以王先生的妻子姓李。

31.无法举行的短跑比赛

没有可能,这两个人一定是一男一女,所以无法举行比赛。

用反证法很容易证明。

假设都是男的,那么前排的这个男生左边一定都是男生,也就是这一排男生至少8人,同理后排的男生也至少8人,这样两排相加就有超过16个男生了。

假设都是女生也一样会推出女生超过16人。

32.称盐

第一步,将9000克盐用天平平分,一边是4500克;

第二步,将4500克盐用天平再平分,一边是2250克;

第三步,在2250克盐中,用50克和200克的砝码一起称量出250克,剩下的就是2000克。

33.分醋

平分的方法如下图所示:8斤瓶5斤瓶3斤瓶第一次350第二次323第三次620第四次602第五次152第六次143第七次440

34.分饮料

用4升瓶里的果汁把2.5升瓶倒满;用2.5升瓶里的果汁把1.5升瓶倒满;把1.5升瓶里的果汁倒回4升瓶中;并把2.5升瓶中的1升倒回1.5升瓶中;用4升瓶中的3升把2.5升瓶倒满;然后用2.5升瓶中的果汁把1.5升瓶倒满;把1.5升瓶中的果汁倒回4升瓶中。这时,4升瓶和2.5升瓶中的果汁都是2升的,正好平均分配。35.如何卖酱油10千克10千克5千克4千克1010005105051014910109105141051410248102086241062236.特别的称重

第一步,先把10克的砝码放在天平的一端,然后把这袋碳酸钠分开放在天平的两端使天平平衡。这时,天平两端的碳酸钠分别是33克和23克。

第二步,把33克粉末取下,然后仍然把10克的砝码放在天平的一端,然后从23克碳酸钠中取出一些放在天平的另一端,并使天平平衡,这时23克中剩下的就是13克。

第三步,重复第二步的动作,剩下的就是3克。

37.一起滚的球

当一个球滚动一周时,它平移的距离等于它的周长。长方形的周长等于圆周长的12倍,意味着外面的球沿长方形的边滚了12圈。而在每一个角上它还要滚上1/4圈。所以它总共滚了13圈。

而里面的球滚过的距离等于周长的12倍减去其半径的8倍。半径等于周长除以2π。所以它滚过的圈数为12-(4/π),大约10.7圈。

38.门上的洞眼

如图所示:很多人一想到某物塞住某物,就会将它想象成一块没有变化的、形状单一的立方体。如果能将思维发散,将它们想成不同的平面,就能设计出第一个木塞;如果再将思维发散,将不同的平面各按不同的角度进行组合,很容易设计出第二个木塞。

39.卡洛尔的难题

不能。由(1)知:标有日期的信--用粉色纸写的;由(2)知:丽萨写的信--以“亲爱的”开头;由(3)知:不是约翰写的信--不用黑墨水;由(3)知:收藏的信--不能看到;由(5)知:只有一页信纸的信--标明了日期;由(6)知:不是用黑墨水写的信一做标记;由(7)知:用粉色纸写的信--收藏;由(8)知:做标记的信--只有一页信纸;由(9)知:约翰的信--不以“亲爱的”开头。

综上所知:丽萨写的信--不是约翰写的信--不是用黑墨水--做了标记--只有一页信纸--标明了日期--用粉色写的--收藏起来--皮特不能看到。所以,皮特不能看到丽萨写的信。

40.火中逃生

威尼、他的妻子、孩子与狗可以下列顺序逃生:

降下孩子→降下小狗,升上孩子→降下威尼,升上小狗→降下孩子→降下小狗,升上孩子→降下孩子→降下妻子,升上其他人及狗→降下孩子→降下小狗,升上孩子→降下孩子→降上威尼,升上小狗→降下小狗,升上孩子→降下孩子。

41.周游的骑士

这道题非常难!除了图中的答案外还有许多走法,即便你没有回到原点,也算正确。

42.蜈蚣博弈的悖论

如果一开始A就选择不合作,则两人各得1的收益,而A如果选择合作,则轮到B选择,B如果选择不合作,则A收益为0、B的收益为3,如果B选择合作,则博弈继续进行下去。

可以看到每次合作后总收益在不断增加,合作每继续一次总收益增加1,如第一个括号中总收益为1+1=2,第二个括号为0+3=3,第三个括号则为2+2=4。这样一直下去,直到最后两人都得到10的收益,总体效益最大。遗憾的是这个圆满结局很难实现!

大家注意,在图中最后一步由B选择时,B选择合作的收益为10,选择不合作的收益为11。根据理性人假设,B将选择不合作,而这时A的收益仅为8。A考虑到B在最后一步将选择不合作,因此,他在前一步将选择不合作,因为这样他的收益为9,比8高。B也考虑到了这一点,所以他也要抢先A一步采取不合作策略……如此推论下去,最后的结论是:在第一步A将选择不合作,此时各自的收益为1,这个结论是令人悲哀的。

不难看出,这个结论是不合理的。因为一开始就停止的话,A、B均只能获取1,而采取合作性策略有可能均获取10,当然,A一开始采取合作性策略有可能获得0,但1或者0与10相比实在是很小。直觉告诉我们采取“合作”策略是好的。而从逻辑的角度看,A一开始应选择“不合作”的策略。人们在博弈中的真实行动“偏离”了博弈的理论预测,造成二者间的矛盾和不一致,这就是蜈蚣博弈的悖论。

43.将军的困境

这就是“协同攻击难题”,它是由格莱斯(J.Gray)于1978年提出的。糟糕的是,有学者证明,不论这个情报员来回成功地跑多少次,都不能使两个将军一起进攻。问题在于,两个将军协同进攻的条件是:“于黎明一起进攻”,这是将军A、B之间的公共知识,然而,无论情报员跑多少次,都不能够使A、B之间形成这个公共知识!

44.谁有钱

老大、老四和老五有钱,说假话;老二和老三没钱,说真话。

从老五的话入手,老大承认过他有钱,这句话一定是假话。因为如果老大有钱,他不会说自己有钱;如果老大没钱,他也不会承认自己有钱。所以老五说的是假话,老五有钱,老三没钱。

说实话的老三说:“老四说过,我们兄弟五个都没钱。”说明老四有钱。

老四说:“老大和老二都有钱。”说明老大和老二中至少有一个没钱的。

老大说:“老三说过,我的四个兄弟中,只有一个有钱。”现在已经确定老三说实话,而且老四、老五都有钱了,所以老大说的是假话,老大有钱,而老二没钱。

45.找规律

规律就是:从第二列开始,表示上一列某个数字的个数。例如第三列的2、1表示第二列为2个1。第四列的1、2、1、1表示第三列为1个2,1个1。依此类推。

第八列为1,1,1,3,2,1,3,2,1,1

第九列为3,1,1,3,1,2,1,1,1,3,1,2,2,1

不会出现4。因为如果出现4,则说明上一行有4个相同的数字,这是不可能出现的。

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