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第12章 《名画》

前苏联著名科学家别莱利曼在他所著的《趣味代数学》中介绍了波格达诺夫·别列斯基的《名画》,画上那位老师拉金斯基是一位自然科学教授,放弃了大学教席来到农村学校当一名普通老师。

画中,黑板上写着一道式子:

十几个学生,有的抓头,有的搔腮,都在吟思,看来老师正让大家心算这道题目,画面紧凑生动,寓意很深。

如果光凭心算来算这一题,是比较困难的,因为数据比较大,算起来比较繁。但如果仔细一研究,10、11、12、13、14这几个数目具有一种有趣的特性:

102+112+122=132+142,

而且

100+121+144=365。

所以,很容易算出画里的算式应等于2。

现在,把这个问题推广一点:还有没有其它这样五个连续的整数,前三个的平方和正好等于后两个的平方和呢?

设x为这五个连续整数的第二个数,(这样设有方便之处,为什么?)依题意可列得方程:

(x—1)2+x2+(x+1)2=(x+2)2+(x+3)2。

去括号,化简,得

x2—10x—11=0。

解这个一元二次方程,得

x1=11,x2=—1。

所以,具有所要求性质的数列有两组:拉金斯基的那组是10,11,12,13,14;另一组是—2,—1,0,1,2。

事实上,

(—2)2+(—1)2+02=12+22。

如何把问题进一步拓宽一点:有没有这样七个连续整数,前四个的平方和等于后三个的平方和?问题就是要解方程(x—3)2+(x—2)2+(x—1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2+(x+3)2。

不难得出这个方程的解是x1=24,x2=0。

读者不难写出类似的等式。

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