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第18章 你害怕数学吗?——优等生的数学学习法(1)

数学是人类几千年的智慧结晶,数学学习可以培养和训练思维:通过学习几何,我们学会如何用演绎推理来求证和思考;通过学习概率统计,我们可以学会如何避免思考的死胡同,如何最大化自己的机会。

数学是许多理工科的基础。学习数学,最重要的是要从学习中得到知识和思考的方式。

优等生学数学要把题做透

一位来自大西北的高考状元说,她复习时基本没买什么教参书,就是老老实实做课本上的题,把课本上的例题、习题都琢磨透。

研究者从近年来的高考和中招数学试题中发现,有相当一部分是对课本习题稍加改动,甚至就直接源于课本习题。

看来,优等生的经验是正确的。教材是根本,学习时一定要注意深入挖掘课本习题的功能,充分发挥某作用。解题时不要就题论题,不要题目解完了思路也就断了,而应该把思路延伸下去,从习题的各方面进行类比、联想、推广。

可是,学数学可就那么几道题,有什么琢磨头呢?

一位老师认为至少可以从以下几个角度去琢磨书上的例题及习题:

其一,课前轻松读例题

上课之前要认真预习将要学习的内容,对其中的例题逐字逐句通读,力求在头脑中留下印象。碰上简单易懂的内容可以一带而过,遇着复杂难懂弄不明白的地方也不要着急,用笔做好标记,留待上课时解决。千万不要碰上困难就停止阅读,在难点上反复思考、斟酌、推敲,搞得头昏脑涨也理不清楚。要学会适时放下问题轻装前进,否则在浪费时间的同时徒增畏难情绪,还可能为以后的学习设置心理障碍。这又要注意以下几点:

首先,抓住课本上的方法后,注意一法多用。

其次,琢磨书上例题是否能一题多变(注意不是一题多解)。

把课本上的题目进行变通,既能激发探索兴趣,又能提高求同思维和求异思维的能力,从中尝到创造脑力劳动成果的无穷乐趣。

第三,琢磨书上题是否能一题多解,除了对课本上一些比较重要的习题,或综合性较强的题目采用一题多解外,还可对一些看上去是平淡无奇的习题也作一定的努力,看是否能有别的解法,

其二,课堂认真抠例题

人的注意力不可能长时间高度集中,老师在课堂上所讲的内容对不同的同学来说难易也不同。上课时我们必须有张有弛,“劳”、“逸”结合(“劳”即注意力高度集中,“逸”即注意力相对集中),把握住老师讲课的节奏。简单易懂的可以轻松跃过(必要时也可精神溜号,思考某个问题或者记忆本节课要求掌握的定理、公式),主要精力要放在你预习时所标注的难点上。讲到重难点时,老师往往会加重语气、放慢语速、适时重复,我们可以抓住老师如何讲课的特征,及时“聚焦”注意力,一个字也不错过,看老师分析、比较、归纳、综合,如何联系以前学过的知识,如何融会贯通,举一反三。画龙点睛之处要打起十二分的精神,比如容易出错的地方、正负号的运用等。认真抠例题才能真正理清例题的解题思路,掌握重点,把握难点,为解题能力的提高奠定基础。

其三,课后分析看例题

课堂上例题弄懂了,并不说明你具备了解题能力和知识迁移能力。课后还需要从一个新的角度重新审视、分析例题。由于新知识的掌握、知识面的扩展以及老师的引导、点拨,再看例题时则对难点有了不同的认识,进入了更高的层次。对题中基础知识的运用,分析、推理方法的选择都会有更深的理解。例如:在做几何证明题时,通过看例题,可以分析该题涉及了哪些前面学过的知识,看还有没有别的(利用其他辅助线、定理)解题方法。如果课后不看例题思维就会停留在一个浅层次,无法完成由浅入深,由表及里的转化过程。

其四,作业推理识例题

做练习是运用知识解决问题提高能力的最重要最有效的方法,也是学好数学的关键。做作业时首先要识别题型(即这道题属于本章节所讲例题的哪一类型);其次要回忆书上是如何解题的,再次分析有几种解题方法,最后明确哪一种方法最简便。需要特别指出的是,在识别题型时还要仔细回忆具体的解题步骤,如果识记不清或对以前学过的例题产生了遗忘,要不惜时间去翻阅、分析、记忆。通过做练习综合所学知识,分析所见过的题型,牢记解题步骤、方法。

其五,考试综合串例题

考前复习要归纳压缩知识,把书读薄。要做到这一点,除了大家常用的“知识串串”法外,“例题串串”也是学习数学必不可少的有效手段。所谓“例题串串”,就是要弄清全书有几章,每章有几节,每节有几道例题(其实每道例题就是一种题型),每种题型是如何解答的,对全书例题做到心中有数后,就进入了最后一道工序:抄例题、解例题。在作业本上工工整整地抄下海一道例题,熟悉题型。合上书本(千万不可先看解法再解题),按书上解题步骤、解题方法认真解题(决不能马虎成删减,省略)。解答完毕后再翻开书本参照例题一一对照,看解题方法、步骤是否与书中一致,如有不同,分析原因,寻找存在的知识盲点和这样做的利弊,最后订正并记忆。如果针对例题的闭卷考试答案与书中(方法、步骤)完全相同,那你一定能轻松地完成书上所有的练习题而且不会丢步骤分。这样充分说明你不仅掌握了全书的内容,而且解题过程规范。

这一方法不仅学习数学时可用,学习理、化等课程时也同样适用。例题,是理科教科书的主体部分之一(试想删去例题,一册教材还剩下什么)。编书者在选择例题时,是费了许多心血的:选什么样的题?选多少?怎么选?所以说,教材是最好的参考书,你一定要琢磨深,琢磨透。

做不会做的,会做的就不做

你是不是会有这样的疑问:数学也没少做题,有些题还做了不止一次,怎么成绩还是提高不了呢?

上海师大附中的高考状元冯雨的经验是:做不会做的,会做的就不做。意思是会做的题目是用不着重复去做的。虽然这个学习方法可能听上去有点“投机”,但非常管用。落实到平时的学习中时,他说“比如上课,我就不能保证始终全神贯注,但会认真听那些新的知识点,遇到老师讲解一些我不会做的题目时也会特别留心。”同样,张丰羽说自己做习题时也是有“选择性”的,当然这主要是基于他自己所说的“一般不会在同样的题目上错两次”。

另一名状元周鸿说:“我最喜欢的学科是数学,数学取得单科成绩第一的成就获益于一位老师。这位老师说过这样一句名言:做不会做的,会做的就不做。这句话让我琢磨了好长时间,觉得非常有道理。首先,我们要问,为什么做题?做题的目的是什么?不是别的,就是找一找哪些东西自己还没有掌握,哪些东西自己掌握了,重点应放在自己没有掌握的东西上,而不是没有目的地跟着题跑,那样就失去了主动性。每个人的情况不同,有的人这方面强一些,有的人那一方面差一些,如果能找出自己在哪些方面差,这就成功了一半,然后你再针对自己的弱项下工夫。这样,你就会不断提高的。”

周鸿同学说,他个人认为,做十道重复的题目不如做一道你不熟悉的题目。做一套卷子,做完后必须总结,从中发现问题。凡是属于自己做错了的题,决不能放过,否则就会一错再错,搞乱了阵脚。采取这样的态度,时间一长,就会感到要做的题其实不是很多。当你觉得没有什么题可做了,你复习得也差不多了。

“什么不会就做什么,什么会了就不做”,这真是简单得不能再简单的道理。你也许会说:这算什么经验?先别忙着下结论。事实上,有多少同学就是忘记了这个简单的道理,什么不会就不做什么,什么会了却还做什么,浪费掉了宝贵的时光。

既然说“什么不会就做什么”,那么,首先,就要弄明白自己究竟什么地方不会,其次,要弄清楚为此去“做什么”。

既然说“什么会了就不做”,那么,也一定要搞清楚自己是真会了,还是假会了?是百分之百地会了,还是只会百分之五十?如果是真会了,就不做;如果仅是假会,那就还得做。

如果是百分之百地会了,那也不用做;如果只会百分之五十,那就要弄明白,不会的那一半是什么,这一部分,还得练!

数学的“理科文学”法

你也许认为,数学主要靠做题,没多少可记的东西。的确,与文科相比,甚至与同为理科的化学比,数学的记忆量的确不大。但这并不表明学习数学就无需记忆。至少以下一些内容,还是应该牢牢记住的:

对公理、定理、定义要记忆

立体几何第一章是立体几何的基础,其公理、定理、定义非常多,能否准确记忆这些公理和定理是能否顺利学习立体几何的关键。因此应采用课堂记忆、课堂提问、课堂测验、课后作业等多种方式反复进行强化记忆,使绝大部分同学对每个公理、定理、定义都能准确无误地叙述出来,为进一步学习打下坚实的基础。

对如何应用公理、定理要记忆

准确记忆公理、定理是为了能应用这些公理、定理来解决实际问题,但不少学生对具体的几何问题常常不知从何人手。因此,对每个公理、定理应用的条件,怎样应用不妨一一列举出来,要求加以记忆,在思维中形成一个模式,即遇到什么样的问题应该怎样处理。例如,“线面平行的性质定理”,都能倒背如流,但遇到具体问题却仍束手无策,因此,针对定理本身的内容,要求记住“线面平行作平面”。这样通过反复的练习,对这类问题的处理已非常熟练,而数学能力正是在这种反复的记忆训练中逐步形成的。

对常用的数学方法要记忆

常用的数学方法的掌握是数学“双基”的一个重要内容,是学生必须掌握的一种技能。数学离不开方法,复习中,注意把常用的数学方法例如分析、综合、反证、配方、数形结合等反复加以训练,在反复训练中达到记忆的目的。同时注意每隔一段时间,要再现这些重要的数学方法,以防止遗忘。

对重要的习题要记忆

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