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第8章

前面已假定每头牛每星期的吃草量为1,而每星期新长的草量为15,因此新长出的草可供15头牛吃。今要放牧21头牛,还余下21-5=6头牛要吃牧场上原有的草,这牧场上原有的草量够6头牛吃几个星期,就是21头牛吃完牧场上草的时间。72÷6=12(星期)。

也就是说,放牧21头牛,12个星期可以把牧场上的草吃光。

79

分析与解根据题意,红色铅笔分别与黄、蓝、绿、白四种颜色的铅笔搭配,有不重复的4组;黄色铅笔分别与蓝、绿、白三种颜色的铅笔搭配,有不重复的3组;蓝色铅笔分别与绿、白二种颜色的铅笔搭配,有不重复的2组;绿色铅笔与白色铅笔搭配,有不重复的1组。所以最多可以搭配成不重复的4+3+2+1=10组。

80

如果只剩4,5号,5一定会反对4,因为没过半数,4一定被杀,5得到全部宝石;

所以如果只剩3,4,5号4号一定会支持3号这样才能活下去;

而3号提出的方案一定会通过,且有利于自己,即100,0,0;

因此3号一定想除掉前面的1,2号,3肯定会反对1的方案;

2暂时忽略。如果1给4,5号每人一个宝石就比没有强,4,5号一般会支持;

所以考虑他们的心理,但是如果1死后,2也会给4、5一人一颗,这样的话,4,5就不一定支持1号了,一号只有再拿出一颗给4或5,大家再来看3号,如果1号不给他一点,他是一会同意的,所以正确答案是:

96,0,1,1,2或96,0,1,2,1

81

根据原题可以写出这样一个不定方程:

A+B+C+D=711

A×B×C×D=711

该不定方程有两个方程式组成,有四个未知数,用一般解方程方法是无法得到未知数的解的(这也是为什么这种方程被称为不定方程)。解不定方程,需要用题目中给与的或明确或隐含的条件来辅助解决。

人们不习惯于小数的运算,因此,可以把该方程转化为整数:

A+B+C+D=711

A×B×C×D=711000000

首先,要从这711000000着手,711000000等于79×5×5×5×5×5×5×3×3×2×2×2×2×2×2,ABCD必定分别是它们某几个之间相互的乘积。这里隐含的已知条件是:ABCD,均是正整数,在数值在1到711间(确切地说,ABCD每个数都不小于1,不大于708)。

注意上述的分解出的乘数中,比较突出的数字是79,它只出现一次,且最大,是破案中最明显的目标。在ABCD中,其中一个必含有79(是79的倍数)。因为上面我们说过,ABCD任何一个数,包括该含有79的数不能大于711,那么该含79的数字小于711的可能的值有6个,从大到小分别是79×3×2=474,79×5=395,79×2×2=316,79×3=237,79×2=158,及79本身。看,我们一下就把侦破的范围缩小到六个数中,该问题的答案中的含有79的那个数,就在这六个数之中。

让我们分别来看,看这六个可能的数,是否可以满足作为方程的解的要求。

第一个,看看474。711000000除掉474(79×3×2)后,剩下的数是5×5×5×5×5×5×3×2×2×2×2×2,这些数字要组合成三个数,这三个数的和要等于711-474=217。我们知道,由乘数分别组合来的几个数,在它们数字最接近时,其和最小。例如,2×2×2×2×2×2组合成两个数字时,只有在组合成2×2×2和2×2×2时,它们的和最小,为16,其它的任何组合成两数的和,都大于16(例如,2×2×2×2+2×2=20)。我们可以看到,5×5×5×5×5×5×3×2×2×2×2×2能组合成的和为最小的三个数(最为接近的三个数)是100,120,125,而它们的和是345,大于所要满足的217。因此,无论它们如何组成三个数,都只可能大于217,而不可能满足等于217的作案条件/解题条件,那么问题出在哪里呢?问题出在,79×3×2=474不可能是该题的解,即474不是ABCD中的任何一个,因为如果ABCD其中一个是474,其它数无论如何组和,都不可能满足那两个方程式。这样,我们可以排除474。

第二个,看看395(79×5)。用同样的分析,我们可以看到,711000000除去395后,所余下的数,能组成的和为最小的三个数是120,120,125,其和为365,大于所要的711-395=316。同样道理,395也可以排除在嫌疑之外。

第三个,看看316(79×2×2),当然还用同样的分析方法。哈,这次猜猜会有什么样的结果呢?呵呵,这次我们的运气实在是好,阳台上花盆不小心掉下去,正砸在楼下撬窗准备入室行窃的小偷脑袋上。711000000除去316后,余下的数组合成的和为最小的三个数为120,125,150,而120+125+150=395恰等于711-316。结果,在排除疑犯时,一不小心,歪打正着,我们抓住了正在作案的家伙,316,120,125,150恰是满足原题条件的一组解。而且,在一个数是316的情况下,除了120,125,150外,其它组合成的三个数都要大于395,因而,在一个数是316的情况下,只有这一组解。

抓住一组案犯,但是否还有其它案犯存在呢?换成数学语言是,这组解是否是唯一解呢?

六个可能的含有79的值,我们分析了三个,还剩下三个。这剩下的三个数,我们也要排查一下。

第四个,看看237(79×3)。这次,用上面的方法就不灵了,因为在下面这三个数字,被711000000除后的数值,组成三个数的最小和,可以小于711减该数的差值。这次,我们用新方法。如果四个数字中,一个是237,那么余下的三个数值之和应该是711-237=474。我们再看看711000000除以237后,得到5×5×5×5×5×5×3×2×2×2×2×2×2,注意其中的六个5。如果这三个数值都含有5,那么其和必定也可以被5整除。但474是不能被5整除的,说明至少一个数值之中不含有5。是否可能只有一个数值中含有5呢?我们看六个5相乘等于15625,远大于所要求的三个数值之和474,所以这六个5不可能完全在一个数值中。同样,一个数值中也不可能有五个5相乘(得3125),也不可能有四个5相乘(得625)。所以,可能的情况只有,在含有5的两个数值中,一个数值中有三个5,而另一个数值中也有三个5。这样,这两个数字只可能是125或125×2(不可能是125×3,因为125×3+125大于474)。于是,我们只有两组可能的值,一个是125,125,192,另一组是125,250,96。这两组值,其和都不是474,它们都不是我们的题解。排除!

第五个,看看158(79×2)。158也不能被5整除,所以我们仍然可以用上面的方法。过程就不罗嗦了,得到可能的四组值分别是125,125,288;125,250,144;250,250,72;125,375,96。同样,没有一组的和等于711-158,所以,158也是清白的。

第六个,也是最后一个,看看79。79也不能被5整除,我们可以依样画葫芦,略去过程,得到六组值,分别是:125,125,576;125,250,288;250,250,144;125,500,144;125,375,192;250,375,96。我们高兴地看到,它们也都不满足要求(三者之和要等于711-79),所以,79也是清白的。

回首看看,在六个可能的含79的值中,只有316是满足条件的,且发现了一组解,316,120,125,150,且是唯一的一组解。

不要忘了,为了计算方便,我们去掉了小数点,我们还要把小数点加回去。

最终答案:这四种商品的价格分别是:316美元,120美元,125美元,和150美元。

82

从第一下钟声响起,到敲响第6下共有5个“延时”、5个“间隔”,共计(3+1)×5=20秒。当第6下敲响后,小明要判断是否清晨6点,他一定要等到“延时3秒”和“间隔1秒”都结束后而没有第7下敲响,才能判断出确是清晨6点。因此,答案应是:

(3+1)×6=24(秒)。

83

由第一个月到第十二个月,兔子的对数分别为:一1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144。所以,满一年时可以繁殖出376对兔子。

84

也许大多数人都能回答这个问题,他们是这样回答的:让这两个青年重新赛跑一次。因为既然好青年能追上小偷,所以好青年一定跑得比小偷快。

这种回答一般还是有道理的。可是,一位同学的回答很有新意,很有独创性。

这位同学是这样回答的:

估计命题者的意图,是要让两个青年重新作一次赛跑,从而辨认出谁是小偷,谁是好青年。我认为用这种办法来破此案,极易冤枉好人,放过坏人。

因为人是有意识的动物,人的各种活动与心理状态有密切的关系。现在我们来看看小偷与追捕者的心理状态吧:作案者在作案时必然内心空虚,在心虚和恐惧的心理状态下,必定会减弱运动中枢神经的活动,使肌肉的作用不能充分发挥;另外,由于作案者在逃窜时要选择逃跑的道路,还要窥测前后左右的动向,作好“应变”的准备,因此大脑无法集中于跑步的动作。在这种情况下,作案者是跑不出正常速度的。

而追捕者的心理状态正好相反,他一股正气,情绪高昂,另外他也不必分心择路。更重要的是由于追捕者还有一个为他人、为社会做好事的动机,使他的神经系统处于非常兴奋的状态,所以在追捕时,一般都会超过平时的运动水平,跑得飞快。

但是,当以赛跑来区别好人和坏人时,两个人的心理状态都会发生根本的变化。作案者在案发时的过分紧张心理已经松驰了。另外,由:“倒打一耙”之计暂时得逞而洋洋得意,为使自己能从罪犯变成“英雄”,他必然要“拼搏”一番。这样,作案者就往往处于较佳的竞技状态,因此赛跑时会跑得比逃跑时快得多。而见义勇为的好青年,却有着一肚子窝囊,自己不顾个人安危,奋勇捉拿罪犯、反而受到怀疑,还要荒谬地通过与罪犯“平等”地赛跑来确定谁是小偷。因此,大脑皮层的活动受到抑制,影响了肌肉和关节的活动。在这种心理状态下,追捕者的赛跑速度一般就要比抓小偷时慢了。由此可见,不加心理分析,用这种简单的赛跑方法来区别好人和坏人一定是靠不住的。

所以,要区分谁是小偷,还要再找证据加以证实。

85

严格说来,0625不能算是四位数,只能看成四位密码锁上的一个号码。但是它的平方确实把这四位号码完全保留在平方数的尾部。况且,把0625也算在里面,还有一个好处,就是保持了演变的连续性:上面这些等式左边的数,按照位数从少到多,顺次是5,25,625,0625,90625,890625。

这是一个在平方运算下具有数字遗传特性的家族。从这一列数中的每个数要得到它后面相邻的数,只需在原数前面加上一个适当的数字;反过来,要得到这列数中某个数前面相邻的数,只需划去原数最前面一位的数字。只要记下这列数中有一个数是890625,把它的数字从前往后顺次一个一个地划掉,就得到前面几个数了。

下面是另外一组有遗传特性的数:

62=36,

762=5776,

3762=141376。

86答案:对于这个问题,看起来似乎很简单,就是以40人中去掉所有4的倍数,再去掉所有6的倍数,加上4和6的公倍数。若那样想就错了。这里值得提醒大家注意的是要弄清“向后转”的含义。

事实上,在40人中,报数是4的倍数的有10人,报数是6的倍数的有6人,报数既是4的倍数又是6的倍数的有3人,且两次向后转之后已面向老师了。

不妨这样思考:

第一次老师请报数为4的倍数的学生向后转,面向老师的有40-10=30人。

第二次老师请报数为6的倍数的学生向后转,因为40人中是6的倍数的有6人,这6人中有3个既是4的倍数,又是6的倍数,两次后转已面对老师,但另3个(6的倍数学生)向后转,恰是背对老师,虽然这6个人方向都发生了变化,但面向老师的人数却是没有变的。所以原题的答案应是:40-10-3+3=30人。

87

由于河水的流动速度对划艇和草帽产生同样的影响,所以在求解这道趣题的时候可以对河水的流动速度完全不予考虑。虽然是河水在流动而河岸保持不动,但是我们可以设想是河水完全静止而河岸在移动。就我们所关心的划艇与草帽来说,这种设想和上述情况毫无无差别。

既然渔夫离开草帽后划行了5英里,那么,他当然是又向回划行了5英里,回到草帽那儿。因此,相对于河水来说,他总共划行了10英里。渔夫相对于河水的划行速度为每小时5英里,所以他一定是总共花了2小时划完这10英里。于是,他在下午4时找回了他那顶落水的草帽。

这种情况同计算地球表面上物体的速度和距离的情况相类似。地球虽然旋转着穿越太空,但是这种运动对它表面上的一切物体产生同样的效应,因此对于绝大多数速度和距离的问题,地球的这种运动可以完全不予考虑。

88

许多试图解答这道趣题的人会这样对自己说:“假设我取出的第一只是红色袜子。我需要取出另一只红色袜子来和它配对,但是取出的第二只袜子可能是蓝色袜子,而且下一只,再下一只,如此取下去,可能都是蓝色袜子,直到取出抽屉中全部10只蓝色袜子。于是,再下一只肯定是红色袜子。因此答案一定是12只袜子。”

但是,这种推理忽略了一些东西。题目中并没有限定是一双红色袜子,它只要求取出两只颜色相同从而能配对的袜子。如果取出的头两只袜子不能配对,那么第三只肯定能与头两只袜子中的一只配对。因此正确的答案是3只袜子。

89

苹果是这样分的:把3个苹果各切成两半,把这6个半边苹果分给每人1块。另2个苹果每个切成3等份,这6个1/3苹果也分给每人1块。于是,每个孩子都得到了一个半边苹果和一个1/3苹果,6个孩子都平均分配到了苹果。

90

那位寡妇应分得1000元,儿子分得2000元,女儿500元。这样,法律就完全得到实现了,因为寡妇所得的恰是儿子的一半,又是女儿的两倍。

91

一只手表比另一只手表每小时快3分钟,所以经过20小时之后,它们的时差为1小时。

92

厨师起先买了16只鸡蛋,但老板又加给他2只,所以厨师总共买了18只鸡蛋。

93

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