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第8章

于是就求出了x的值。在代数学的符号系统发展起来之前,“双设法”是中世纪欧洲解决算术问题的一种主要方法,并得到广泛的应用。十三世纪着名的意大利数学家斐波那契,最早介绍了这种方法,并把它叫做“阿尔-契丹耶(elchataym)”,这显然是阿拉伯语的音译。因为在11~13世纪,这种方法就引起了阿拉伯数学家的重视,并称之为“契丹算法”。另一方面,我们知道当时阿拉伯人所说的“契丹”,实际上就指的是中国。“契丹算法”就是“中国算法”。由此看来,“双设法”追本溯源应该来自中国,来自中国古代的“盈不足术”。正是我国早已有之的“盈不足术”很可能经由阿拉伯传入欧洲,在欧洲数学发展中起了重要的作用。

“盈不足”又称“盈朒(róu),是我国古代解决“盈亏类”问题的一种算术方法,“盈”就是“多”,“不足”就是“少”。我国古代数学名着《九章算术》里有一章就叫做“盈不足”,其中第一个问题是:“今有共买物,人出8,盈3;人出7,不足4。问人数、物价各几何?”这道题的题意是:现在有几个人合起来买东西。如果每人出8元,则多3元;如果每人出7元,则少4元。问人数和物价各是多少?《九章算术》给出了这个问题的一般解法,我们用现在的代数式来表示:设每人出a1,盈(或不足)b1;每人出a2,盈(或不足)b2。其中,在盈的情况下,b1,b2>0,不足时,b1,b20。于是,人数p或物价q可由下列公式计算出来:

p=b1-b2a1-a2q=a2b1-a1b2a1-a2。在上述问题中,由这两个公式可得人数p=7(人),物价q=53(元)。

“盈不足术”是中国古代数学的一项杰出成就。用“盈不足”算法,不仅能解决盈亏类问题,而且还能解决一些较复杂的问题。例如,设好地一亩产粮300斤,次地七亩产粮500斤;现在有一顷地共产粮1万斤;问好地和次地各有多少亩?这道题虽然没有给出“盈”和“不足”的数值,但可以假定有好地20亩,次地80亩,于是,可算出这种情况应多产粮171427斤。如果假定有好地10亩,次地90亩,则应少产粮57137。因此,根据上述公式即可算出好的有12亩半,次地有87亩半。

当然,应用我们学到的一次方程或二次方程等代数知识,很容易解决日常遇到的算术难题,不必多此一举地再用“盈不足术”了。但在高等数学范围内,有时还要用盈不足术推求高次数字方程或函数实根的近似值。

牛顿问题

牛顿是17世纪英国最着名的数学家。他不仅勇于探索高深的数学理论,也很重视数学的普及教育,曾专门为中学生编写过一套数学课本。牛顿认为:“学习科学时,题目比规则还有用些。”所以在书中编排了许多复杂而又有趣的数学题,用来锻炼学生的数学思维能力。下面这个题目就是书中一道着名的习题。

“有3块草地,面积分别是313顷、10顷和24顷。草地上的草一样厚,而且长得一样快。如果第一块草地可以供12头牛吃4个星期,第二块草地可以供21头牛吃9个星期,那么,第三块草地恰好可以供多少牛吃18个星期?”

这个题目的确复杂而又有趣。因为在几个月的时间里,被牛吃过的草地还会长出新的青草来,而这青草的生长量,又因时间的长短、面积的大小而各不相同!

牛顿潜心研究过这个题目,发现好几种不同的解法。他认为,下面这种比例解法最为有趣。

首先,假设草地上的青草被牛吃过以后不再生长。因为“313顷草地可以供12头牛吃4个星期”,按照这个比例,10顷草地就可以供8头牛吃18个星期,或者说可以供16头牛吃9个星期。

由于实际上青草被牛吃过以后还会生长,所以题中说:“10顷草地可以供四头牛吃9个星期。”把这两个结论比较一下就会发现,同样是10顷草地,同样是9个星期,却可以多养活21-16=5头牛。

这5头牛的差额表明,在9个星期的后5周里,10顷草地上新生的青草可供5头牛吃9个星期。也就是说,可以供25头牛吃18个星期。

那么,在18个星期的后14周里,10顷草地上新生的青草可供多少头牛吃18个星期呢?5∶14=25∶?,不难算出答案是7头牛。

接下来综合考虑18个星期的各种情况。

前面已经算出,假定青草不生长时,10顷草地可以供8头牛吃18个星期;考虑青草生长时,10顷草地上新生的青草可以供7头牛吃18个星期。因此,10顷草地实际可以供8+7=15头牛吃18个星期。按照这个比例,就不难算出24顷草地可以供多少头牛吃18个星期了。

10∶24=15∶?

显然。“?”处应填36,36就是整个题目的答案。

欧拉问题

大数学家欧拉也很重视数学的普及教育。他经常亲自到中学去讲授数学知识,为学生编写数学课本。尤其感人的是,1770年,年迈的欧拉双目都已失明了,仍然念念不忘给学生编写《关于代数学的全面指南》。这本着作出版后,很快就被译成几种外国文字流传开来,直到20世纪,有些学校仍然用它作基本教材。

为了搞好数学普及教育,欧拉潜心研究了许多初等数学问题,还编了不少有趣的数学题。也许因为欧拉是历史上最伟大的数学家之一,这些题目流传特别广。例如,在各个国家的数学课外书籍里,都能见到下面这道叫做“欧拉问题”的数学题。

“两个农妇共带了100只鸡蛋去集市上出售。两人的鸡蛋数目不一样,赚得钱却一样多。第一个农妇对第二个农妇说:‘如果我有你那么多的鸡蛋,我就能赚15枚铜币。’第二个农妇回答说:‘如果我有你那么多的鸡蛋,我就只能赚623枚铜币。’问两个农妇各带了多少只鸡蛋?”

历史上,像这样由对话形式给出等量关系的题目并不少见。例如公元前3世纪时,古希腊数学家欧几里得曾编了一道驴和骡对话的习题:

“驴和骡驮着货物并排走在路上,驴不住地抱怨驮的货物太重,压得受不了。骡子对它说:‘你发什么牢骚啊!我驮的比你更重。如果你驮的货物给我1口袋,我驮的货物就比你重1倍;而我若给你1口袋,咱俩才刚一般多。’问驴和骡各驮了几口袋货物?”

12世纪时,印度数学家婆什迦罗也曾编了一道相似的习题:

“某人对一个朋友说:‘如果你给我100枚铜币,我将比你富有2倍。’朋友回答说:‘你只要给我10枚铜币,我就比你富有6倍。’问两人各有多少铜币?”

但是,“欧拉问题”却编出了新意,由于两种“如果”出的答数无倍数关系可言,使得题中蕴含的等量关系更加行踪难觅,解题途径与上述两题也不相同。

下面是欧拉提供的一种解法。

假设第二个农妇的鸡蛋数目是第一个农妇的m倍。因为最后两人赚得的钱一样多。所以,第一个农妇出售鸡蛋的价格必须是第二个农妇的m倍。

如果在出售之前,两个农妇已将所带的鸡蛋互换,那么,第一个农妇带有的鸡蛋数目和出售鸡蛋的价格,都将是第二个农妇的m倍。也就是说,她赚得的钱数将是第二个农妇的m2倍。

于是有m2=15∶623。

舍去负值后得m=3/2,即两人所带鸡蛋数目之比为3∶2。这样,由鸡蛋总数是100,就不难算出题目的答案了。

想出这种巧妙的解法是很不容易,连一贯谨慎的欧拉也忍不住称赞自己的解法是“最巧妙的解法”。

怎样渡河才好

暴风雨过去了,一支巡回医疗队来到河边,哪知木桥已被洪水冲断,怎么样办呢?正在焦急的时候,忽然看见一条小船向这边驶来。

“啊,太好啦!村里两个少先队员来接我们啦!”大家高兴极了。

可是,这条船实在太小,它只能承载两个孩子或者一个大人。

“怎样才能全部渡到对岸去呢?”大家都在沉思着。

聪明机智的少先队员,很快想出了渡河方案,巧妙地把大家全部渡到对岸,是怎样一个方案呢?

首先,两个少先队员把船划到对岸。

接着,他们之中一个留在对岸,另一个划回来。

这个少先队员上岸,一个医疗队员划过去。医疗队员上岸,留在对岸的少先队员划回来。

这时,一个医疗队员已到对岸,而两个少先队员却都回到这边来。整个过程这样重复下去,直到每一个医疗队员全都渡过河去为止。

这里渡河的程序是何等重要,先怎样,后怎样,再怎样,必须按一定的次序。

六人集会问题

问题很简单,任何六人的集会中,总有三个人彼此相识或三个人彼此不相识。但问题的解决不很简单。

我们把六个人看作是平面上的六个点A,B,C,D,E,F(为清晰起见,假定六点中无三点共线),相识的二者之间用实线连接,不相识的二者之间用虚线连接,于是问题便转化为,一定能连得一个实边三角形或一个虚边三角形。

我们以A为基点进行全面分析,A与其它点之间的连线共有六种情况,即五条实线;四实一虚;三实二虚;二实三虚;一实四虚;五条虚线。不难看出前三种情形的解决便导致了后三种情形的解决,B、C、D三点若全部用虚线连结则问题得证。先出现一条实线比如BD,则ABD为实边三角形,同样问题得证。

上面的问题做一个古老的数字游戏,我们是把它转化为“图论问题”来解决的,并得到了一个重要的“图论定理”:用实线或虚线连结六点中的各两点之后,则至少有一个实线作成的三角形或一个虚线作成的三角形。解决问题中所采用的形式转化和全面分析等,都是富有启发性的。

怎样计算222

怎样计算222呢?

是把它作为(22)2呢?还是把它作为2(22)呢?

不妨算算看。

(22)2=42=16,

2(22)=24=16。

两种计算结果是相同的。

是不是两种方法都可以呢?

且慢作结论。再换一个类似的题目试试。

计算计算233看。

如果是这样算:(23)3=83=512

如果是这样算:

2(33)=227=134217728

两种方法的答案相差很大。

哪一种对呢?是后面一种做法对。

因此,把222作为42=16的计算方法是错误的,虽然答案16是不错的。

我们可以知道,凡是指数里面是一个又有指数的幂时,应该先进行指数里面的运算,也不必另加括号。也就是说,遇到这种情况,计算时由上而下,先算出上面的指数。

根据这一原则,算算2222看。

怎样巧算圆木堆垛

在货栈或仓库里,物品的码放都是很有次序的,这样不仅整齐美观,取用方便,而且也易于统计。

有一堆长短粗细相同的圆木堆放在露天仓库里,按以下规律排列:最下边一层是10根,以后每一层比下一层少一根,最上边一层是1根,这堆圆木一共有多少根?

有的同学说,圆木堆垛的横截面是一个三角形,底层是10根,高是10层,列式为:10×10÷2=50(根),这堆圆木共50根。

也有同学说,圆木堆垛的横截面是一个梯形,下底层是10根,上底层是1根,高是10层,列式为:(10+1)×10÷2=55(根),这堆圆木共55根。

这两个答案哪个对呢?让我们来分析一下。

假如你在这堆圆木旁边,再并排地放上同样的一堆,只是上下倒置,每一层的根数,恰好是底层与顶层根数的和,底层是10根,顶层是1根,每一层的根数是10+1=11(根),一共是10层,11×10=110(根),这110根是两堆圆木的总根数,原来的这堆圆木的根数就是这两堆圆木总根数的一半,110÷2=55(根)。由此说明,认为“这堆圆木共50根”的答案是错误的。错误的根本原因在于,不应该把圆木堆垛的横截面看成为三角形,虽然它的上底很短,数值很小,是“1”,但它毕竟不是“0”,只有当梯形的上底逐渐缩短,数值成为“0”时,梯形就转化成三角形了。

一般的计算公式是:

(底层根数+顶层根数)×层数2

如果有一堆钢管堆放在地上,第一层是8根,底层是20根,每层仍是依次减少一根,要求这堆钢管总数是多少根?也可以用这个公式来计算:

(底层根数+顶层根数)×层数2=总根数

=(20+8)×132=182(根),这堆钢管总数是182根。

“巧算圆木堆垛”的方法还可以推广到其它圆柱形物体的计算上去,如铅笔厂计算铅笔的支数、水泥管厂计算水泥管数等。除此以外,你能不能用这种巧算的方法去计算:101+102+103……+198+199+200的和呢?把101看作顶层的数,200看作底层的数,100个数是层数,列式为:

(101+200)×1002=15050。其实,这道题还可以这样算:1505×100=15050,你猜猜,这又是怎么想的呢?

巧遇小数点

东方刚刚发白,自然数家族中的小3就起床跑步了。他呼吸着清新的、带有花香的空气,舒服极啦!

突然,小3被什么东西绊了一下,身子往前一倒,亏得双手着地,不然的话,连门牙也保不住了。

小3爬起来一看,是个黑乎乎圆溜溜的小东西。一气之下,小3抬腿给了小东西一脚。这个小东西向前滚了几下,突然大声嚷道:“你凭什么踢我?”这么一喊,把小3吓了一跳。

小3也不示弱,他说:“你把我绊了一个大跟头!”

小东西气呼呼地说:“我正在这儿专心练气功,你为什么从我头上跑过去,还踢人!”

小3自觉理亏,又看他挺小,忙道歉:“真对不起,把你碰伤了没有?请问,你是什么数?我怎么没见过你呀?”

小东西眨巴着两只大眼睛说:“数?我可不是什么数,我叫小数点。”说完顽皮地在原地跳了几下,头一歪问:“小数点,你知道吗?”

小3摇摇头说:“不知道。我是自然数家庭中的数3,因为我比较小,大家都叫我小3。咱们交个朋友吧!”

“交朋友?恐怕你不敢吧!”小数点把身子左右晃了晃。

“交朋友还有什么敢不敢的。你这个朋友我是交定了,你跟我回家去吧。”说完也不等小数点同意,拉着小数点就走。

自然数们看见小3带来个小黑家伙,觉得挺好玩,一下子都围拢了过来。小3介绍说:“大家认识一下吧,这是我的新朋友小数点。”

数0是自然数家族中的客人,他好奇地问:“喂!小数点,你会干什么呀?”

“我会变魔术。不信,我给你们表演一下,请0和1出来帮我表演。”小数点右手拉着0,左手拉着1,面对大家站好。突然,他大喊一声:“变!”一道白光闪过,0没了,1没了,小数点也没了。出现在大家面前的是比1矮了一大截的01。

由于自然数家族中没有小数,大家都不认识01,因而议论纷纷:“这是个什么家伙,长得这么矮小?”“说他是0又不是0,说他是1又不像1,长得真怪!”

01做了自我介绍:“我叫零点一。把1平均分成十份,其中的一份就是我。”他看大家还傻呆呆地看着他,知道没弄懂,就一挥手说:“你们跟我走吧。”

大家跟他走进果树林。果树林里有苹果树、梨树、石榴树、桃树……不少树上果实累累。

01跳起来,摘下一个大苹果。他又从口袋里拿出一把水果刀,唰唰几刀,把苹果切成了相等的10块,拿起其中一块苹果说:“这就是01个苹果,给你吃吧。”说完递给了小3。小3看了看这一小块苹果说:“这么一点儿,不够吃呀!”01说:“嫌小,还给我。”

他又把10块苹果合在一起,吹了一口气,说也奇怪,已经切开的苹果又变成一个完整的大苹果。01对大家说:“10个01个苹果相加仍然得1个苹果。”

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