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第3章

此法的缺点是:先将代表复合数的齿全掰掉了。因为素数的存在是微弱地依附着较小素数及其倍数的复合数,而这点儿微弱的痕迹也给掰掉了。而这个问题,又不能从概率的办法解决,因为素数不是正态分析,而是一个确定的问题。所以他们就将x确定为一定值,再每两个齿一错位。这样,一个用有限问题企图解决无限问题,当然是极其困难的。尽管如此,仍有一些人在艰苦地攀登。所以后来,他们把大于某一个很大的数(例如k0=e49c)偶数,叫做大偶数,再将任一大偶数N(N>K0)写成自然数N1与N2之和,即N=N1+N2。而N1与N2里素因数这个数,分别不多于s与t个。故简记为(s,t),或写成带引号的加法:“s+t”,此时N1与N2可以叫做殆(接近)素数,然后将s与t值逐步缩小。如果一旦将s,t均计算到1,那时再来证明5×108Ne49 c时,(1,1)成立。这样,(1,1)问题即解决了。但是,至今没有最后解决。现将当前世界取得的名次结果,列表如下:

(s,t)年代结果获得者国别

(9,9)1920布龙挪威

(7,7)1924雷特马赫德

(6,6)1932埃司特曼英

(5,7),(4,9)1937蕾西意

(3,15),(2,366)1937蕾西

(5,5)1938布赫夕太勒前苏联

(4,4)1940布赫夕太勒

(1,C很大)1948瑞尼匈

(3,4)1956王元中

(3,3),(2,3)1957王元

(1,5)1962潘承洞中

巴尔巴恩前苏联

(1,4)1962王元

(1,4)1963潘承洞

巴尔巴恩

(1,3)1963布赫夕太勒

(小)维诺格拉朵夫前苏联

波皮里意

(1,2)1973陈景润中

按照华林原来的猜测,g(2)=4,g(3)=9,g(4)=19。一般地猜测:

g(k)=2k+〔(x)k〕-2(1)

其中〔x〕表示x的整数部分。

经过许多数学家的努力,除去k=4外,(1)已被证明,其中g(5)=37是我国科学家陈景润于1964年证明的。

对于k=4,目前已经证明:

19g(4)21,

并且在n10310或n>101409时,n可以表示为19个4次方的和。这已经接近于预期的目标g(4)=19了。

人们还发现,当自然数充分大时,可以将它表为G(k)个K次幂的和,这里G(k)g(k)。实际上,G(k)比g(k)小得多(当k大的时候)。目前仅仅知道G(2)=4,G(4)=19。对G(k)进行估计是一个很艰难的问题。

回数猜想

一提到李白,人们都知道这是我国唐代的大诗人,如果把“李白”两个字颠倒一下,变成“白李”,这也可以是一个人的名字,此人姓白名李。像这样正着念、反着念都有意义的语言叫做回文,比如“狗咬狼”、“天和地”、“玲玲爱毛毛”,一般说来,回文是以字为单位的,也可以以词为单位写回文,回文与数学里的对称非常相似。

如果一个数,从左右两个方向来读都一样,就叫它为回文数,比如101,32123,9999等都是回文数。

数学里有个有名的“回数猜想”,至今没有解决,取一个任意的十进制数,把它倒过来,并将这两个数相加,然后把这个和数再倒过来,与原来的和数相加,重复这个过程直到获得一个回文数为止。

例如68,只要按上面介绍的方法,三步就可以得回文数1111。

68+86154+451605+5061111

“回数猜想”是说:不论开始时采用什么数,在经过有限步骤之后,一定可以得到一个回文数。

还没有人能确定这个猜想是对的还是错的,196这个三位数可能成为说明“回数猜想”不成立的反例,因为用电子计算机对这个数进行了几十万步计算,仍没有获得回文数,但是也没有人能证明这个数永远产生不了回文数。

数学家对同时是质数的回文数进行了研究,数学家相信回文质数有无穷多个,但是还没有人能证明这种想法是对的。

数学家还猜想有无穷个回文质数时,比如30103和30203,它们的特点是,中间的数字是连续的,而其他数字都是相等的。除11外必须有奇数个数字,因为每个有偶数个数字的回文数,必然是11的倍数,所以它不是质数,比如125521是一个有6位数字的回文数,按着判断能被11整除的方法:它的所有偶数位数字之和与所有奇数位数字之和的差是11的倍数,那么这个数就能被11整除,125521的偶数位数字是1,5,2;而奇数位数字是2,5,1,它们和的差是(1+5+2)-(2+5+1)=0,是11的倍数,所以125521可以被11整除,且125521÷11=11411。

因而125521不是质数。

在回文数中平方数是非常多的,比如,

121=112,

12321=1112,

1234321=11112,

……

12345678987654321=1111111112,

你随意找一些回文数,平方数所占的比例比较大。

立方数也有类似情况,比如,1331=113,1367631=1113

这么有趣的回文数,至今还存在着许多不解之谜。

冰雹猜想

30多年前,日本数学家角谷静发现了一个奇怪的现象:一个自然数,如果它是偶数,那么用2除它;如果商是奇数,将它乘以3之后再加上1,这样反复运算,最终必然得1。

比如,取自然数N=6,按角谷静的作法有:6÷2=3,3×3+1=10,10÷2=5,5×3+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1,从6开始经历了3→10→5→16→8→4→2→1,最后得1。

找个大数试试,取N=16384。

16384÷2=8192,8192÷2=4096,4096÷2=2048,2048÷2=1024,1024÷2=512,512÷2=256,256÷2=128,128÷2=64,64÷2=32,32÷2=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1,这个数连续用2除了14次,最后还是得1。

这个有趣的现象引起了许多数学爱好者的兴趣,一位美国数学家说:“有一个时期,在美国的大学里,它几乎成了最热门的话题,数学系和计算机系的大学生,差不多人人都在研究它。”人们在大量演算中发现,算出来的数字忽大忽小,有的过程很长,比如27算到1要经过112步,有人把演算过程形容为云中的小水滴,在高空气流的作用下,忽高忽低,遇冷成冰,体积越来越大,最后变成冰雹落了下来,而演算的数字最后也像冰雹一样掉下来,变成了1!选数学家把角谷静这一发现,称为“角谷猜想”或“冰雹猜想”。

这一串串数难道一点规律也没有吗?观察前面作过的两串数:

6→3→10→5→16→8→4→2→1;

16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→3→2→1。

最后的三个数都是4→2→1。

为了验证这个事实,从1开始算一下:

3×1+1=4,4÷2=2,2÷2=1。结果是1→4→2→1,转了一个小循环又回到了1,这个事实具有普遍性,不论从什么样自然数开始,经过了漫长的历程,最终必然掉进4→2→1这个循环中去,日本东京大学的米田信夫对从1到10995亿1162万7776之间的所有自然数逐一做了检验,发现它们无一例外,最后都落入了4→2→1循环之中!

计算再多的数,也代替不了数学证明。“角谷猜想”目前仍是一个没有解决的悬案。

其实,能够产生这种循环的并不止“角谷猜想”,下面再介绍一个:

随便找一个四位数,将它的每一位数字都平方,然后相加得到一个答数;将答数的每一位数字再都平方,相加……一直这样算下去,就会产生循环现象。

现在以1998为例:

12+92+92+82=1+81+81+64=227,

22+22+72=4+4+49=57,

52+72=25+49=74,

72+42=49+16=65,

62+52=36+25=61,

62+12=36+1=37,

32+72=9+49=58,

52+82=25+64=89。

下面再经过八步,就又出现89,从而产生了循环:

千古之谜

现代数论的创始人、法国大数学家费尔马(1601-1665),对不定方程极感兴趣,他在丢番图的《算术》这本书上写了不少注记。在第二卷问题8“给出一个平方数,把它表示为两个平方数的和”的那一页的空白处,他写道:“另一方面,一个立方不可能写成两个立方的和,一个四方不可能写成两个四方的和。一般地,每个大于2的幂不可能写成两个同次幂的和。”

换句话说,在n>2时,

xn+yn=zn(1)

没有正整数。这就是举世闻名的费尔马大定理。

“关于这个命题”,费尔马说:“我有一个奇妙的证明,但这里的空白太小了,写不下。”

人们始终未能找到弗尔马的“证明”。很多数学家攻克这座城堡,至今未能攻克。所以,费尔马大定理实际上是费尔马大猜测。人们在费尔马的书信与手稿中,只找到了关于方程

x4+y4=z4(2)

无正整数解的证明,恐怕他真正证明的“大定理”也就是这n=4的特殊情况。

既然(2)无正整数解,那么方程

x4k+y4k=z4k(3)

无解(如果(3)有解,即有正整数x0,y0,z0使

x04k+y04k=z04k(3)

那么(x0k)4+(y0k)4=(z0k)4

这与(2)无解矛盾!

同理,我们只要证明对于奇素数P,不定方程

xp+yp=zp(4)

无正整数解,那么费尔马大定理成立(因为每个整数n>2,或者被4整除,或者有一个奇素数p是它的因数)。

(4)的证明十分困难。在费尔马逝世以后90多年,欧拉迈出了第一步。他在1753年8月4日给哥德巴赫的信中宣称他证明了在p=3时,(4)无解。但他发现对p=3的证明与对n=4的证时截然不同。他认为一般的证明(即证明(4)对所有的素数p无正整数解)是十分遥远的。

一位化名勒布朗的女数学家索菲·吉尔曼(1776-1831)为解费尔马大定理迈出了第二步。她的定理是:

“如果不定方程x5+y5=z5有解,那么5|xyz。”

人们习惯把方程(4)的讨论分成两种情况。即:如果方程xp+yp=zp无满足p|xyz的解,就说对于p,第一种情况的费尔马大定理成立。

如果方程xp+yp=zp无满足p|xyz的解,就说对于p,第二种情况的费尔马大定理成立。

因此,吉尔曼证明了p=5,第一种情况的费尔马大定理成立。她还证明了:如果p与2p+1都是奇素数,那么第一种情况的费尔马大定理成立。她还进一步证明了对于100的奇素数p,第一种情况的费尔马大定理成立。

在欧拉解决p=3以后的90余年里,尽管许多数学家企图证明费尔马大定理,但成绩甚微。除吉尔曼的结果外,只解决了p=5与p=7的情况。

攻克p=5的荣誉由两位数学家分享,一位是刚满20岁、初出茅庐的狄利克雷,另一位是年逾70已享盛名的勒仕德。他们分别在1825年9月和11月完成了这个证明。

p=7是法国数学家拉梅在1839年证明的。

这样对每个奇素数p逐一进行处理,难度越来越大,而且不能对所有的p解决费尔马大定理。有没有一种方法可以对所有的p或者至少对一批p,证明费尔马大定理成立呢?德国数学家库麦尔创立了一种新方法,用新的深刻的观点来看费尔马大定理,给一般情况的解决带来了希望。

库麦尔利用理想理论,证明了对于p100费尔马大定理成立。巴黎科学院为了表彰他的功绩,在1857年给他奖金3000法郎。

库麦尔发现伯努列数与费尔马大定理有重要联系,他引进了正规素数的概念:如果素数p不整除B2,B4……Bp-3的分母,p就称为正规素数,如果p整除B2,B4……Bp-3中某一个的分母就称为非正规素数。例如5是正规数,因为B2的分母是6而5×6。7也是正规素数,因为B2的分母是6,B4的分母是30,而7×6,7×30。

1850年,库麦尔证明了费尔马大定理对正规素数成立,这一下子证明了对一大批素数p,费尔马大定理成立。他发现在100以内只有37、59、67是非正规素数,在对这三个数进行特别处理后,他证明了对于p100,费尔马大定理成立。

正规素数到底有多少?库麦尔猜测有无限个,但这一猜测一直未能证明。有趣的是,1953年,卡利茨证明了非正规素数的个数是无限的。

近年来,对费尔马大定理的研究取得了重大进展。1983年,西德的伐尔廷斯证明了“代数数域K上的(非退化的)曲线F(x,y)=0,在出格g>1时,至多有有限多个K点。”

作为它的特殊情况,有理数域Q上的曲线xn+yn-1=0(5)在亏格g>1时,至多有有限多个有理点。

这里亏格g是一个几何量,对于曲线(5),g可用g=(n-1)(n-2)2来计算,由(6)可知在n>3时,(5)的亏格大于1,因而至多有有限多个有理点(x,y)满足(5)。

方程

xn+yn=2n

可以化成

x2n+y4n-1=0

改记x2,y2为(x,y),则(7)就变成(5)。因此由(5)只有有限多个有理数解x、y,立即得出(1)只有有限多个正整数解x、y、z,但这里把x、y、z与kx、ky、kz(k为正整数)算作同一组解。

因此,即使费尔马大定理对某个n不成立,方程(7)有正整数解,但解也至多有有限组。

1984年,艾德勒曼与希思布朗证明了第一种情况的费尔马大定理对无限多个p成立。他们的工作利用了福夫雷的一个重要结果:有无穷多个对素数p与q,满足q|p-1及q>p2/3个。而福夫雷的结果又建立在对克路斯特曼的一个新的估计上,后者引起了不少数论问题的突破。

现在还不能肯定费尔马大定理一定正确,尽管经过几个世纪的努力。瓦格斯塔夫在1977年证明了对于p125000,大定理成立。最近,罗寒进一步证明了对于p4100万,大定理成立。但是,费尔马大定理仍然是个猜测。如果谁能举出一个反例,大定理就被推翻了。不过反例是很难举的。

五家共井

我国最早提出不定方程问题,它由“五家共井”引起。古代,没有自来水,几家合用一个水井是常见的事。《九章算术》一书第8章第13题就是“五家共井”问题:

今有五家共井,甲二绠不足,如乙一绠;乙三绠不足,如丙一绠;丙四绠不足,如丁一绠;丁五绠不足,如戊一绠;戊六绠不足,如甲一绠。如各得所不足一绠,皆逮。问井深、绠长各几何!

用水桶到井中取水,当然少不了绳索,“绠”就是指“绳索”。原题的意思是:

五家共用一水井。井深比2条甲家绳长还多1条乙家绳长;比3条乙家绳长还多1条丙家绳长;比4条丙家绳长还多1条丁家绳长;比5条丁家绳长还多1条戊家绳长;比6条戊家绳长还多1条甲家绳长。如果各家都增加所差的另一条取水绳索,刚刚好取水。试问井深、取水绳长各多少?

虽然该问题是虚构的,它是最早的一个不定方程问题。

用现代符号,可设甲、乙、丙、丁、戊各家绳索长分别为x、y、z、u、v;井深为h。根据题意,可得2x+y=h,3y+z=h,4z+u=h,5u+v=h,6v+x=h。

这是一个含有6个未知数、5个方程的方程组。未知数的个数多于方程个数的方程(或方程组)叫不定方程。用加减消元法可得x=265721h,y=191721h,z=148721h,u=129721h,v=76721h。

给定h不同的数值,就可得到x、y、z、u、v的各个不同的数值。只要再给定一些特定条件,就可得到确定的组解。原书中只给出一组解,是最小正整数解。

我国古代数学家在《九章算术》的基础上,对不定方程作出了辉煌的成绩。“五家共井”问题是后来百鸡术及大衍求一术的先声。

“五家共井”问题,曾引起世界上很多数学家的注视。在西方数学史书中,把最早研究不定方程的功绩归于希腊丢番都。其实,他在公元250年左右才研究这些问题,要比我国迟200多年。

公元6世纪上半期,张丘建在他的《张丘建算经》中有一个百鸡问题:今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏生,值钱一。凡百钱,买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何?

意思是,如果1只公鸡值5个钱;1只母鸡值3个钱;3只小鸡值1个钱。现用100个钱,买了100只鸡。问公鸡、母鸡、小鸡各多少?

设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z只,则可得不定方程消去z不难得出5x+3y+13z=100x+y+z=100消去z不难得出y=7x4因为y是正整数,所以x必须是4的倍数。

设x=4t,则y=25-7t,z=75+3t

x>0,4t>0,t>0;

又y>0,25-7t>0,t347

故t=1,2,3。

原方程组有三组答案:

{x=4,y=18,z=78 {x=8,y=11,z=81 {x=12,y=4,z=84

数学史家评论说,一道应用题有多组答案,是数学史上从未见到过的,百鸡问题开了先例。《张丘建算经》中没有给出解法,只说:“术曰:鸡翁每增四,鸡母每减七,鸡雏每益三,即得。”意思是:如果少买7只母鸡,就可多买4只公鸡和3只小鸡。因为7只母鸡值钱21,4只公鸡值钱20,两者相差3只小鸡的价格。只要得出一组答案,就可推出其余两组。但这解法怎么来的?书中没有说明。因此,所谓“百鸡术”即百鸡问题的解法就引起人们的极大兴趣。

稍后,甄鸾在《数术记遗》一书中又提出了两个“百鸡问题”,题目意思与原百鸡问题相同,仅数字有所区别。到了宋代,着名数学家杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中,也引用了类似的问题:

“钱一百买温柑、绿桔、扁桔共一百枚。只云温柑一枚七文,绿桔一枚三文,扁桔三枚一文。问各买几何?”

到了明清时代,还有人提出了多于三元的“百鸡问题”。不过,各书均与《张丘建算经》一样,没有给出问题的一般解法。

7世纪时,有人对百鸡问题提出另一种解法,但只是数字的凑合。到了清代焦循在他的《加减乘除释》一书中指出其错误。之后,不断有人提出新的解法,但都没有完全得到普遍解决此类题目的通用方法。例如丁取忠在他的《数学拾遗》中给出一个比较简易的解法:先设没有公鸡,用100个钱买母鸡和小鸡共100只,得母鸡25只、小鸡75只。现在少买7只母鸡,多买4只公鸡和3只小鸡,便得第一组答案。同理可推出其余两组。直到19世纪,人们才把这类问题同“大衍求一术”结合起来研究。

百鸡问题是一个历史名题,在世界上有很大影响。国外常见类似的题目。

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