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第10章

推算一下兔子的对数是很有意思的。为了叙述更有条理,我们假设最初的一对兔子出生在头一年的12月份。显然,1月份里只有1对兔子;到2月份时,这对兔子生了1对小兔,总共有2对兔子;在3月份里,这对兔子又生了1对小兔,总共有3对小兔子;到4月份时,2月份出生的兔子开始生小兔了,这个月共出生了2对小兔,所以共有5对兔子;在5月份里,不仅最初的那对兔子和2月份出生的兔子各生了1对小兔,3月份出生的兔子也生了1对小兔,总共出生了3对兔子,所以共有8对兔子……照这样继续推算下去,当然能够算出题目的答案,不过,斐波拉契对这种方法很不满意,他觉得这种方法太繁琐了,而且越推算到后面情况越复杂,稍一不慎就会出现差错。于是他又深入探索了题中的数量关系,终于找到了一种简捷的解题方法。

斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串。

1,1,2,3,5,8……这串数里隐含着一个规律,从第3个数起,后面的每个数都是它前面那两数的和。而根据这个规律,只要作一些简单的加法,就能推算出以后各个月兔子的数目了。

这样,要知道1年后兔子的对数是多少,也就是看这串数的第13个数是多少。由5+8=13,8+13=21,13+21=34,21+34=55,34+55=89,55+89=144,89+144=233,不难算出题目的答案是233对。

按照这个规律推算出来的数,构成了数学史上一个有名的数列。大家都叫它“斐波拉契数列”。这个数列有许多奇特的性质,例如,从第3个数起,每个数与它后面那个数的比值,都很接近0618,正好与大名鼎鼎的“黄金分割律”相吻合。人们还发现,连一些生物的生长规律,在某种假定下也可由这个数列来刻画呢。

托尔斯泰问题

19世纪时,俄国有位大文豪叫列夫·托尔斯泰。他的作品形象生动逼真,心理描写细腻,语言优美,用词准确鲜明,对欧洲和世界文学产生过巨大影响。如《战争与和平》、《复活》等等,至今仍然拥有千千万万的读者。

这位大文豪又是一个有名的“数学迷”。每当创作余暇,只要见到了有趣的数学题目,他就会丢下其他事情,沉湎于数学演算之中。他还动手编了许多数学题,这些题目都很有趣而且都不太难,富于思考性,因而在俄罗斯少年中广为流传。例如:

一些割草人在两块草地上割草,大草地的面积比小草地大1倍。上午,全体割草人都在大草地上割草。下午他们对半分开,一半人留在大草地上,到傍晚时把剩下的草割完;另一半人到小草地上去割草,到傍晚还剩下一小块没割完。这一小块地上的草第二天由一个割草人割完。假定每半天的劳动时间相等,每个割草人的工作效率也相等。问共有多少割草人?

这是托尔斯泰最为欣赏的一道数学题,他经常向人提起这个题目,并花费了许多时间去寻找它的各种解法。下面这种巧妙的算术解法,相传是托尔斯泰年轻时发现的。

在大草地上,因为全体人割了一上午,一半的人又割了一下午才将草割完,所以,如果把大草地的面积看作是1,那么,一半的人在半天时间里的割草面积就是1/3。

在小草地上,另一半人曾工作了一个下午。由于每人的工效相等,这样,他们在这半天时间里的割草面积也是1/3。

由此可以算出第一天割草总面积为4/3。

剩下的面积是多少呢?由大草地的面积比小草地大1倍,可知小草地的总面积是1/2。因为第一天下午已割了1/3,所以还剩下1/6。这小块地上的草第二天由1个人割完,说明每个割草人每天割草面积是1/6。

将第一天割草总面积除以第一天每人割草面积,就是参加割草的总人数。

43÷16=8(人)后来,托尔斯泰又发现可以用图解法来解答这个题目,他对这种解法特别满意。因为不需要作更多的解释,只要画出了这个图形,题目的答案也就呼之即出了。

奇特的墓志铭

在大数学家阿基米德的墓碑上,镌刻着一个有趣的几何图形:一个圆球镶嵌在一个圆柱内。相传,它是阿基米德生前最为欣赏的一个定理。

在数学家鲁道夫的墓碑上,则镌刻着圆周率π的35位数值。这个数值被叫做“鲁道夫数”,它是鲁道夫毕生心血的结晶。

大数学家高斯曾经表示,在他去世以后,希望人们在他的墓碑上刻上一个正17边形。因为他是在完成了正17边形的尺规作图后,才决定献身于数学研究的……不过,最奇特的墓志铭,却是属于古希腊数学家丢番图的。他的墓碑上刻着一道谜语般的数学题:

过路人,这座石墓里安葬着丢番图。他生命的1/6是幸福的童年,生命的1/12是青少年时期。又过了生命的1/7他才结婚。婚后5年有一个孩子,孩子活到他父亲一半的年纪便死去了。孩子死后,丢番图在深深的悲哀中又活了4年,也结束了尘世生涯。过路人,你知道丢番图的年纪吗?”

丢番图的年纪究竟有多大呢?

设他活了X岁,依题意有:16X+112X+17X+5+12X+4=X。

这样,要知道丢番图的年纪,只要解出这个方程就行了。

这段墓志铭写得太妙了。谁想知道丢番图的年纪,谁就得解一个一元一次方程;而这又正好提醒前来瞻仰的人们,不要忘记了丢番图献身的事业。

在丢番图之前,古希腊数学家习惯用几何的观点看待遇到的所有数学问题,而丢番图则不然,他是古希腊第一个大代数学家,喜欢用代数的方法来解决问题。现代解方程的基本步骤,如移项、合并同类项、方程两边乘以同一因子等等,丢番图都已知道了。他尤其擅长解答不定方程,发明了许多巧妙的方法,被西方数学家誉为这门数学分支的开山鼻祖。

丢番图也是古希腊最后一个大数学家,遗憾的是,关于他的生平,后人几乎一无所知,即不知道他生于何地,也不知道他卒于何时,幸亏有了这段奇特的墓志铭,才知道他曾享有84岁的高龄。

推算科学家的年龄

一位科学家在几年前逝世,逝世时的年龄是他出生年数的129。如果这位科学家在1955年主持过一次学术讨论会,求他当时的年龄。

分析:要想求出这位科学家在1955年时的年龄,首先必须知道他在哪一年出生。而这个出生年数应满足条件:是29的倍数;小于1955。把小于1955的29的倍数罗列出来:

1943,1914,1885,1856……在这些数中,哪一个是这位科学家的出生年数呢?如果是1885,那么科学家在1955年的年龄就是:1955-1885=70,但他逝世时的年龄却是1885÷29=65,这显然是个矛盾。即科学家不能在1885年出生;同样的方法可以说明在比1885年更早的年数里出生也不行。现在,还剩下1943和1914两个数。如果在1943年出生,不难知道学者在1955年的年龄为12岁,这是不符合事实的,因为科学家不可能的情况都排除,就可以知道出生年数为1914年,1955年时他的年龄为41岁。解决这个问题的基本思路就是“筛”法,其中也运用了归谬法的思路。

谁的算法对

伊格纳托夫是前苏联着名的科普作家,他一生写下了许多题材新颖、内容丰富、形式活泼的作品,伐木人的争论是其作品中的一道题。

尼基塔和巴维尔是两个伐木人。有一天,俩人干完活正准备吃饭,迎面走来一个猎人:“你们好哪,兄弟们!我在森林里迷了路,离村庄又远,饿得心慌,请分给我一些吃的吧!”

“行啊,行啊,你坐下吧!尼基塔有4张饼,我有7张饼,咱们在一起凑合着吃吧”巴维尔热情地说。尼基塔也随声附和着。于是三人平均分吃了11张饼。吃过饭,猎人摸出11个戈比,说道:“请别见怪,我身上只有这些钱了,你俩商量着分吧!”

猎人走后,两个伐木人争论起来。尼基塔说:“我看这钱应该平分!”巴维尔分驳说:“11张饼的钱是11个戈比。正好是1张饼1个戈比,你应得4个,我应得7个!”

他们俩的算法,谁的对呢?显然尼基塔的算法是错的,两人带的饼的数目不同,当然分得的钱也应不同。再看巴维尔的算法:11张饼,11个戈比,每张饼1个戈比,看起来非常合理,如果问题是“猎人用11个戈比买了11张饼”,那么巴维尔的算法的确是正确的。可问题是“3个人平均分吃了11张饼,并且尼基塔和巴维尔带的饼又不一样多”,实际上,11张饼平均分给3个人,就是说,每人吃了113张饼。尼基塔有4张饼,自己吃了113张饼,他给猎人吃了4-113=13张。而巴维尔也吃了113张,他分给猎人7-113=103张。

猎人吃了113张饼,付给11个戈比,也就是说,每次13张饼猎人付给一个戈比。他吃了尼基塔13张饼,故尼基塔应得1戈比,他吃了巴维尔103张饼,巴维尔应得10戈比,两个人的算法都错了。

三等分角问题

只准用直尺和圆规,你能将一个任意的角两等分吗?

这是一个很简单的几何作图题。几千年前,数学家们就已掌握了它的作图方法。

在纸上任意画一个角,以这个角的顶点O为圆心,任意选一个长度为半径画弧,找出这段弧与两条边的交点A、B。

然后,分别以A点和B点为圆心,以同一个半径画弧,只要选用的半径比A、B之间的距离的一半还大些,这两段弧就会相交。找出这两段弧的交点C。

最后,用直尺将O点与C点联接起来。不难验证,直线OC已经将这个任意角分成了相等的两部分。

显然,采用同样的方法,是不难将一个任意角4等分、8等分或者16等分的;只要有耐心,将一个任意角512等分或者1024等分,也都不会是一件太难的事情。

那么,只准用直尺与圆规,能不能将一个任意角3等分呢?

这个题目看上去也很容易,似乎与两等分角问题差不多。所以,在2000多年前,当古希腊人见到这个题目时,有不少人甚至不假思索就拿起了直尺与圆规……一天过去了,一年过去了,人们磨秃了无数支笔,始终也画不出一个符合题意的图形来!

由2等分到3等分,难道仅仅由于这么一点小小的变化,一道平淡无奇的几何作图题,就变成了一座高深莫测的数学迷宫?

这个题目吸引了许多数学家。公元前3世纪时,古希腊最伟大的数学家阿基米德,也曾拿起直尺与圆规,用这个题目测试过自己的智力。

阿基米德想出了一个办法。他预先在直尺上记一点P,令直尺的一个端点为C。对于任意画的一角,他以这个角的顶点O为圆心,以CP的长度为半径画半个圆,使这半个圆与角的两条边相交于A、B两点。

然后,阿基米德移动直尺,使C点在AO的延长线上移动,使p点在圆周上移动。当直尺正好通过B点时停止移动,将C、P、B三点连接起来。

接下来,阿基米德将直尺沿直线CPB平行移动,使C点正好移动到O点,作直线OD。

可以检验,AOD正好是原来的角AOB的1/3。也就是说,阿基米德已经将一个任意角分成了3等分。

但是,人们不承认阿基米德解决了三等分角问题。

为什么不承认呢?理由很简单:阿基米德预先在直尺上作了一个记号P,使直尺实际上具备有刻度的功能。这是一个不能容许的“犯规”动作。因为古希腊人规定:在尺规作图法中,直尺上不能有任何刻度,而且直尺与圆规都只准许使用有限次。

阿基米德失败了。但他的解法表明,仅仅在直尺上作一个记号,马上就可以走出这座数学迷宫。数学家们想:能不能先不在直尺上作记号,而在实际作图的过程中,逐步把这个点给找出来呢……古希腊数学家全都失败了。2000多年来,这个问题激动了一代又一代的数学家,成为一个举世闻名的数学难题。笛卡儿、牛顿等许许多多最优秀的数学家,也都曾拿起直尺圆规,用这个难题测试过自己的智力……无数的人都失败了。2000多年里,从初学几何的少年到天才的数学大师,谁也不能只用直尺和圆规将一个任意角三等分!一次接一次的失败,使得后来的人们变得审慎起来。渐渐地,人们心中生发出一个巨大问号:三等分一个任意角,是不是一定能用直尺与圆规作出来呢?如果这个题目根本无法由尺规作出,硬要用直尺与圆规去尝试,岂不是白费气力?

以后,数学家们开始了新的探索。因为,谁要是能从理论上予以证明:三等分任意角是无法由尺规作出的,那么,他也就解决了这个着名的数学难题。

1837年,数学家们终于赢得了胜利。法国数学家闻脱兹尔宣布:只准许使用直尺与圆规,想三等分一个任意角是根本不可能的!

这样,他率先走出了这座困惑了无数人的数学迷宫,了结了这桩长达2000多年的数学悬案。

化圆为方问题

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