第4章 1用砂粒填满宇宙(3)

S＝1984－1＋1984－14－1984－1100＋1984－1400＋1＝1983＋495－19＋4＋1＝2464。

2464÷7＝352。

所以1984年元旦是星期日。

13“奇异的追击”

四只龟在边长3米的正方形四个角上，以每秒1米的速度同时匀速爬行。每只龟爬行方向是追击其右邻角上的龟，问经过多少时间他们才能在正方形的中心碰头。

这就是思维魔术家马丁·加德纳的“四龟问题”。

这四龟在任何时候，始终位于正方形的四个角，四龟的不停爬行，使所构成的正方形越来越小，最后，终于碰头于正方形的中心。

这四龟所行的路线显然不是直线，要直接计算行程，使人感到无从下手。怎样解决这个难题呢？

我们分析相邻两龟的爬行，其方向总是构成直角。前龟的移动并不影响两龟之间的距离，它的移动可略去不考虑。这就相当于前龟停留在一个正方形的一角，而后龟沿着正方形的一边向它爬去。这样，当它们在正方形中心相遇时，各龟的爬行路线长刚好都等于正方形的边长，所以需要3001＝300秒。就是说5分钟后四龟在正方形中心碰头。

14池塘中的芦苇有多高

陈明和张红、方华在昆明湖中划船，岸边有一棵芦苇露出水面。这棵芦苇有多长呢？这里水有多深呢？小明捉摸了一会，拿出尺来量了量芦苇露出水面的长度是11厘米，芦苇离岸边的距离是3米零1厘米，他又扯着芦苇顶端引到岸边，苇顶正好和水面相齐，陈明高兴地说，我可以算出芦苇的长度和水深。张红和方华感到奇怪：你怎么会算的呢？陈明说：“我叔叔有一本《九章算术》，那是汉朝的着作，离现在快两千年了，前天晚上，叔叔给我讲了其中一个题目，就是计算芦苇长度的。”接着，陈明给他的小伙讲了这个题目。

这个题目是《九章算术》勾股章第六题。题目是：

“有一个方池，每边长一丈，池中央长了一棵芦苇，露出水面恰好一尺，把芦苇的顶端引到岸边，苇顶和岸边水面刚好相齐，问水深、苇长各多少？

设池宽ED＝2a＝10尺，C是ED的中央，那么，DC＝a＝5，生长在池中央的芦苇是AB，露出水面的部分AC＝1尺，而AB＝BD，设BD＝c，水深BC＝b，BDC是一个勾股形。显然AC＝AB－BC＝c－b＝1尺，AC的长等于勾股形中弦和股的差，称为股弦差，于是，问题就变了：已知勾股形的勾长和股弦差长，求股长和弦长。

由勾股定理得

a2＝c2－b2，那么，

a2－(c－b)2＝c2－b2－(c－b)2＝c2－b2－(c2－2bc＋b2)＝2bc－2b2＝2b(c－b)

所以

b＝a2－(c－b)22(c－b)(1)c＝b＋(c－b)(2)将b，c－b的数值代入（1）、（2）两式，很容易求出水深b＝12尺，苇长c＝13尺，《九章算术》用非常精练的语言概括了这个解法：

半池方自乘，以出水一尺自乘，减之，余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭（苇）长。

这段话翻译成数学语言，就是（1）式和（2）式。

15怎样寻找最佳方案

自从有人类以来，人们就一直在追求一种用最少时间、最少劳动达到最好效果的途径。研究这个问题的理论成果，就是近代应用数字的一个分支——运筹学。我国的许多古书中都记载了有关这方面的事例，其中最出名的要数丁谓的施工问题。

据沈括所写的《梦溪笔谈》中记载：北宋真宗年间(公元1015年)，京城开封的皇宫失了大火，建筑物被烧毁。宋真宗命丁谓主持修复工程。这种工程比新建要复杂得多，如果没有合理的施工方案，不仅会拖延工期，还会造成巨大浪费。丁谓经过充分研究提出如下方案：把皇宫前的大街挖成一条大沟，利用挖出来的土作建筑材料。再把汴水引入大沟，使外地船只木筏装载建筑材料直抵建筑工地。竣工之后，再把碎砖瓦和垃圾等物填入沟中，修复原来大街，结果节省的费用“以亿万计”。

近代的运筹学中，关于寻找最佳方案已总结了许多方法，让我们举一个最简单的图表作业法的例子。

秋天，一农户把人力分开，分别负责收割和装运大豆、谷子、高粱、糜子等作物。收割和装运各需工时列表如下：收割工时作物豆子谷子高梁糜子收割7(小时)3(小时)5(小时)5(小时)装运5(小时)6(小时)1(小时)4(小时)注一种庄稼割完捆好后方可装运

怎样才能在最短时间内完工呢？事实上不应按豆子、谷子、高粱、糜子的顺序，而应按谷子，豆子、糜子、高粱的顺序。

解决这类问题一般说来可以这样，先把几种活的两道工序列个用时表，然后找出表中最小的一个数，如果这个数在第一项工程中，就把这种活放在最前；如果这个数在第二项工程中，就把这种放在最后。之后便把这种活从表上划掉，然后按照此法重复做下去，就会得出最佳方案。

16甲比乙多百分之几

乙生产队亩产粮食800斤，甲生产队亩产粮食1000斤，每亩的产量甲比乙多200斤。200斤是800斤的25％，即甲生产队比乙生产队亩产多25％。反过来，乙生产队比甲生产队亩产少200斤，200斤是1000斤的20％，即乙生产队比甲生产队亩产低20％。

如果离开具体例子，在一般情况下，“甲比乙多几斤”，“乙比甲少几斤”，都是用一个算式“甲－乙”来计算的，结果当然一样。但是，“甲比乙多百分之几”，“乙比甲少百分之几”，计算起来却不是单纯的“甲－乙”了。甲比乙多百分之几应该是甲－乙乙；乙比甲少百分之几应该是甲－乙甲。分子相同而分母却是不同的，所以答数也就不同了。

举一个例子，假如只知道甲比乙多25％，没有具体的数量，而要知道乙比甲少百分之几时，我们可以选定乙为标准，即乙为100%。因甲比乙多25％，即甲是125%，于是，

甲－乙甲＝125%－100%125%＝25125＝15＝20%，即乙比甲少20％。这种例子我们日常碰到很多，你不妨自己算算看。

17怎样把有理数排队编号

正整数、负整数和零、一切整数，都可以排队编号，我们已经知道了。

那么，有理数是不是也能排队编号呢？

有理数要排队编号，比起整数来，要复杂得多。因为整数排队，可以按它们的绝对值的大小来分别前后。而有理数呢，就不同了。譬如在相邻的两个自然数2与3之间，就有无限多个有理数。如果仍旧按它们的绝对值大小来排队，是编不出号码的。

能不能想办法把有理数排队编号呢？

也有办法。下面就作一个介绍。

先看一看下面这个表：

1234567……

12223242526272……

13233343536373……

14243444546474……

从上面这个表，可以看出，第一行是自然数，就是分母是1，分子是自然数由小到大的分数；第二行分母是2，分子是自然数由小到大的分数；第三行以下可以依次类推。行数是无限的。这样一个表，就可以包括所有的正有理数了。

现在就可以把这个表上的所有的数排队编号了。排队编号的方法是按照下列的路线：

先从1起，向右到2，然后向左下斜行到12，再向下到13，再向右上斜行过22到3，又向右到4，又向左下斜行……

这样，可以经过所有表上的有理数，一个也不会漏掉。但是，这里有些有理数是重复的。如1和22，33……实际上都是1；12，24，36……等等也是重复的，实际上都是12。所以，在这个排列的表中，要把出现重复的地方去掉。这样得到的是：1，2，12，13，3，4，32，23，14，15，5……这里，13和3之间的22去掉了。15和5之间的24，33，42都去掉了。这样，正有理数的排队就解决了。排队排好，编号就不成问题了。1是1号，2是2号，12是3号，13是4号，3是5号等等。

如果要把所有有理数包括正的、负的和零一起排呢？你就可以自己解决了。

你不要以为这样的排队编号，是一种消遣性质的数学游戏。在数学里，象自然数、整数、有理数这类可以把所有的数排队编号的集合，叫做“可数集合”。另一方面，象实数（包括有理数和无理数）、复数（包括实数和虚数）这样的数的集合，就不能把所有有关的数排队编号，这样的集合，叫做“不可数集合”。可数集合和不可数集合的性质和规律是有所不同的。

18抽屉原则

现在有五本书要放到四个抽屉里去，放法是很多的，有的抽屉可以不放，有的可以放一本，有的可以放二本、三本、四本甚至放五本。但是，随便怎样放法，至少总可以找到一个抽屉里至少放上二本书的。

如果每一个抽屉代表一个集合，每一本书就代表一个元素。假使有n＋1或比n＋1多的元素要放到n个集合里去，那也没有疑问，其中必定至少有一个集合里至少放进二个元素。这就是“抽屉原则”的抽象涵义。

现在我们班上有54个同学，我说，这54个同学中至少有二个人是同一个星期出生的。你一定会惊奇，我怎么会知道的呢？这很简单，按照我们学校目前招生的情况，学生们的生日不会相差一年，因为一年之中只有53个星期，现在学生有54人，我们运用抽屉原则的知识，把星期作为抽屉，学生作为书本，那么，这53个抽屉里，至少有一个抽屉放进至少二本书的，也就是至少有二个同学在同一星期出生。这不是很容易解答的吗？

一般的情况，书本的数目并不一定比抽屉数目多1，可以更多一些，例如多6本、7本放到四个抽屉里。如果更多呢？例如21本书放到4个抽屉里，道理也是一样，也就是无论怎样放法，至少可以找到一个抽屉里至少有6本书。这样的情况，即把（m×n＋1）或比（m×n＋1）多的元素放到n个集合里的话，无论怎样放法，其中必定至少有一个集合里至少放进m＋1个元素。

我们来试试看，假使在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每二点用红色或蓝色的线段连起来，都连好以后，能不能找到一个由这些线段构成的三角形，它们的三条边是同一颜色的？

我们可以随便选择其中任何一点，可以看到这一点到其他五个点之间连接了5条线段，这5条线段中，至少有三条是同一颜色，假定是红色。现在我们单独来看这三条红色的线段吧，这三条线段的另一端不是也有不同颜色的线段连接起来构成三角形的吗？假使其中有一条是红色的，那么，这条红色的线段和其他原来连接的两条红色线段就组成了一个我们所要找的三角形。假使这三条都是蓝色的呢，那么，这三条蓝色线段本身组成的也是我们所要找的三角形。所以，无论你怎样着色，在这任意六个点之间所有的线段中至少能找到同一种颜色的一个三角形。

假使在一场乒乓赛中，从所有的队员里任选六个人，你能证明他们当中必然有三个人互相握过手，或者彼此都没有握过手吗？

19在满箱子里再装一个零件

某包装工人要把一批圆形零件装箱，他把40个零件放进一个箱子里刚好装满，一点也不松动。但他计算一下后发现，如果每个箱子再能放进一个零件，那么将节省很大一笔钱。你能帮他忙吗？

这个问题表面看来是根本办不到的。因为零件在箱子里可谓“充分饱和”，要想再放进一个零件，必须重新安排结构，对于圆形零件的“紧凑”摆法也只有“三圆两两外切”这一种情况可试了。一经试验立刻获得成功。

这种摆法我们只计算一下长度就可以了。设圆形零件的半径为r，则相邻的两行的圆必距离为3r，这样9行零件的总长度为(83＋2)r。前面一种摆法总长度为16r。

把两个长度比较一下：

83＋28×1774+2=159216

由此可见，后一种摆法不但能放进41个零件，还略有余地呢！

20用淘汰制计算比赛场数

如果你所在的学校要举办一次象棋比赛，报名的是50人，用淘汰制进行，要安排几场比赛呢？一共赛几轮呢？如果你是比赛的主办者，你会安排吗？

因为最后参加决赛的应该是2人，这2人应该从22＝4人中产生，而这4人又应该是从23＝8人中产生的。这样，如果报名的人数恰巧是2的整数次幂，即2、4（22）、8（23）、16（24）、32（25）……那么，只要按照报名人数每2人编成一组，进行比赛，逐步淘汰就可以了。假如报名的人数不是2的整数次幂，在比赛中间就会有轮空的。如果先按照2个人一组安排比赛，轮空的在中后阶段比，而中后阶段一般实力较强，比赛较紧张，因此轮空与不轮空机会上就显得不平衡。为了使参赛者有均等的获胜机会，使比赛越来越激烈，我们总把轮空的放在第一轮。例如上例的50在32（25）与64（26）之间，而50－32＝18。那么第一轮应该从50人中淘汰18人，即进行18场比赛。这样参加第一轮的是18组36人，轮空的有14人。第一轮比赛后，淘汰18人，剩下32人，从第二轮起就没有轮空的了。第二轮要进行16场比赛，第三轮8场，第四轮4场，第五轮2场，第六轮就是决赛产生冠军和亚军。这样总共进行六轮比赛，比赛的场数一共，是：18＋16＋8＋4＋2＋1＝49，恰恰比50少1。

我们再来看看世界杯足球赛的例子。98法国世界杯赛共有32支参赛球队，比赛采取的方式是先进行分组循环赛，然后进行淘汰赛。如果全部比赛都采用淘汰制进行，要安排几场比赛呢？32正好是25，因而总的场数是16＋8＋4＋2＋1＝31，也是比32少1。

不妨再从一般情况来研究。如果报名的人数为M人。而M比2n大，但比2n＋1小，那么，就需要进行n＋1轮比赛，其中第一轮所需要比赛的场数是M－2n，第一轮比赛淘汰M－2n人后，剩下的人数为M－（M－2n）＝2n。以后的n轮比赛中，比赛的场数为：

2n＋1＋2n－2+2n－3＋……＋23＋22＋2＋1

＝(2n－1＋2n－2＋2n－3＋……＋23＋22＋2＋1)×(2－1)

＝(2n＋2n－1＋2n－2＋2n－3＋……＋23＋22＋2)－(2n－1＋2n－2＋2n－3＋……＋23＋22＋2＋1)

＝2n－1

所以，一共比赛的场数是（M－2n）＋（2n－1）＝M－1，即比参加的人数少1。

其实，每一场比赛总是淘汰1人。在M人参加的比赛中，要产生1个冠军就得淘汰M－1人，所以就得比赛M－1场。你明白了吗？

21怎么走路淋雨越少

人们经常在雨中奔跑，因为通常认为走得越快，淋的雨就越少。那么实际情况是不是这样呢？我们来算一下。

设人体为一长方柱，其前、侧、顶的表面积之比为1∶a∶b。将人行走的方向设为x轴，设人的行走速度为v，行走距离为l。假定雨速是常数u，它在地平面x轴、y轴及垂直于地面的z轴上的分速度分别为ux、uy、uz。

由于在单位时间内，人在前、侧、顶三个方向的淋雨量，与它们的表面积以及三个方向上人与雨的相对速度的绝对值有关，所以单位时间的淋雨量一般可表示为

k（｜v－ux｜＋a｜uy｜＋b｜uz｜），其中k为比例系数。因此，在l/v时间内，总淋雨量为s（v)＝klv（｜v－ux｜＋a｜uy｜＋b｜uz｜)。其中只有v是变量，所以s是v的函数。

下面我们分不同的情况来讨论。当vux，即在行走方向上人行走的速度小于雨的速度时：