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第10章 各式各样的数学题

1.泥板上的数学题

古代巴比伦王国的位置,在西亚底格里斯河和幼发拉底河的中下游地区,现在的伊拉克境内,巴比伦国家建立于公元前19世纪,是世界四大文明古国之一。

巴比伦人使用特殊的楔形文字,他们把文字刻在泥板上,然后晒干,泥板晒干后和石头一样坚硬,可以长期保存。

从发掘出来的泥板上,人们发现了3000多年前巴比伦人出的数学题:

“10个兄弟分100两银子,一个人比一个人多,只知道每一级相差的数量都一样,但是究竟相差多少不知道,现在第八个兄弟分到6两银子,问一级相差多少?”

如果10个兄弟平均分100两银子,每人应该分10两,现在第八个兄弟只分到了6两,说明老大分得最多,往下是一个比一个少。

按着题目所给定的条件,应该有以下关系:

老二得到的是老大减去一倍的差,

老三得到的是老大减去二倍的差,

老四得到的是老大减去三倍的差,

……

老十得到的是老大减去九倍的差。

这样,老大与老十共得银两

=老二与老九共得银两

=老三与老八共得银两

=老四与老七共得银两

=老五与老六共得银两

=20两

已知老八得6两,可求出老三得20-6=14两,老三比老八多得14-6=8,另一方面,老三与老八相差7-2=5倍的差,因此,

差=8÷5=1.6(两)

答:一级相差1.6两银子。

巴比伦的数学和天文学发展很快,他们除了首先使用60进位制外,还确定一个月(月亮月)有30天,一年(月亮年)有12个月亮月,为了不落后太阳年,在某些年里用规定闰月的办法来纠正。

巴比伦人了解行星的存在,他们崇拜太阳、月亮、金星,把数3看作是“幸福的”,晚些时候,他们又发现了木星、火星、水星、土星,这时数7被看作是“幸福的”。

巴比伦人特别注意研究月亮,把弯月的明亮部分与月面全面积之比,叫做“月相”,在一块泥板上记载有关月相的题目:

“设月亮全面积为240,从新月到满月的15天中,头5天每天都是前一天的2倍,即5,10,20,40,80,后10天每天都按着相同数值增加,问增加的数值是多少?”

月亮全面积为240,第五天月亮面积为80,后10天月亮共增加的面积为240-80=160。

因此,每天增加的数值为160÷10=16。

答:增加的数值为16。

2.纸草上的数学题

《兰特纸草书》是4000年前古埃及人的一本数学书,上面用象形文字记载了许多有趣的数学题,比如:

在7,7×7,7×7×7,7×7×7×7,7×7×7×7×7,……

这些数字上面有几个象形符号:房子、猫、老鼠、大麦、斗,翻译出来就是:

“有7座房子,每座房子里有7只猫,每只猫吃了7只老鼠,每只老鼠吃了7穗大麦,每穗大麦种子可以长出7斗大麦,请算出房子、猫、老鼠、大麦和斗的总数。”

奇怪的是古代俄罗斯民间也流传着类似的算术题:

“路上走着七个老头,

每个老头拿着七根手杖,

每根手杖上有七个树杈,

每个树杈上挂着七个竹篮,

每个竹篮里有七个竹笼,

每个竹笼里有七个麻雀,

总共有多少麻雀?”

古俄罗斯的题目比较简单,老头数是7,手杖数是7×7=49,树杈数是7×7×7=49×7=343,竹篮数是7×7×7×7=343×7=2401,竹笼数是7×7×7×7×7=2401×7=16807,麻雀数是7×7×7×7×7×7=16807×7=117649。总共有十一万七千六百四十九只麻雀,七个老头能提着十一万多只麻雀溜弯儿,可真不简单啊!若每只麻雀按20克算,这些麻雀有2吨多重。

《兰特纸草书》上在猫吃老鼠、老鼠吃大麦的问题后面有解答,说是用2801乘以7。

求房子、猫、老鼠、大麦和斗的总数,就是求和7+7×7+7×7×7+7×7×7×7+7×7×7×7×7=7+49+343+2401+16807=19607。这同上面2801×7=19607的答数一样,古代埃及人在4000多年前就掌握了这种特殊的求和方法。

类似的问题在一首古老的英国童谣中也出现过:

“我赴圣地爱弗西,

途遇妇子数有七,

一人七袋手中提,

一猫七子紧相依,

妇与布袋猫与子,

几何同时赴圣地?”

意大利数学家斐波那契在1202年出版的《算盘书》中也有类似问题:

“有7个老妇人在去罗马的路上,每个人有7匹骡子;每匹骡子驮7只口袋,每只动袋装7个大面包,每个面包带7把小刀,每把小刀有七层鞘,在去罗马的路上,妇人、骡子、面包、小刀和刀鞘,一共有多少?”同一类问题,在不同的时代、不同的国家以不同的形式出现,但是,时间最早的还要数古埃及《兰特纸草书》。

古埃及还流传着“某人盗宝”的题目:

“某人从宝库中取宝13,另一人又从剩余的宝中取走117,宝库中还剩宝150件,宝库中原有宝多少件?”

这个问题的提法与现行教科书上的题目很相像,可以这样来解:

设宝库中原有宝为1,则第一人取走13,第二人取(1-12)×117=252

宝库最后剩下

1-13-(1-13)×117=1-13-251=3251。

因此,宝库原有宝

150÷3251=150×5132=23916。

列出综合算式为

150÷[1-13-(1-13)×117=239116。

《兰特纸草书》还有这样一道题:

“有物品若干件,其三分之二,其一半,其七分之一及其全部,共33件,求物品的件数。”

用算术法来解,可设全部为1,则物品的件数为

33÷(23+12+17+1)

=33÷9742=33×4297

=142897

答案是唯一的,但是纸草书上的答案却是

14,14,156,197,1194,1388,1679,1776。这是怎么回事?难道这道题有八个答案吗?

原来纸草书上用古埃及分数的形式给出答案,意思是14+14+156+197+1194+1388+1679+1776。不妨算出来看看:

14+14+156+197+1194+1388+1679+1776

=14+1456+156+197+197×2+197×4+197×7+197×8

=14+1456+8+4+2+197×8+197×7

=14+1456+1597×8+197×7

=14+1456+11397×56

=14+156897×56=142897

这和我们算得的答案相同。

3.诗歌中的数学题

希腊是世界文明古国之一,它有着灿烂的古代文化,在《希腊文集》中有一些用诗歌写成的数学题。

在“爱神的烦忧”中,爱罗斯在古代希腊神话中的爱神,吉波莉达是塞浦路斯岛的守护神,九位文艺女神中,叶芙特尔波管音乐,爱拉托管爱情诗,达利娅管喜剧,特希霍拉管舞蹈,美利波美娜管悲剧,克里奥管历史,波利尼娅管颂歌,乌拉尼娅管天文,卡利奥帕管史诗。

爱神的烦忧

“爱罗斯在路旁哭泣,

泪水一滴接一滴。

吉波莉达向前问道:

‘是什么事情使你如此悲伤?

我可能够帮助你?’

爱罗斯回答道:

‘九位文艺女神,

不知来自何方,

把我从赫尔康山采回的苹果,

几乎一扫而光。

叶芙特尔波飞快抢走十二分之一,

爱拉托抢得更多——

七个苹果中拿走一个。

八分之一被达利娅抢走,

比这多一倍的苹果落入特希霍拉之手。

美利波美娜最是客气,

只取走二十分之一。

可又来了克里奥,

她的收获比这多四倍。

还有三位女神,

个个都不空手:

30个苹果归波利尼娅,

120个苹果归乌拉尼娅,

300个苹果归卡利奥帕。

我,可怜的爱罗斯,

爱罗斯原有多少苹果?还剩50个苹果。’”

这首26行的诗,给出了一道数字挺多的数学题,题目中原有苹果数不知道,经过九位文艺女神的抢劫,爱罗斯只剩下50个苹果,是“知道部分求全体类型”的数学题。

设爱罗斯原有苹果数为x。

依题意,得

112x+17x+18x+14x+120x+15x

+30+120+300+50=x

整理,得143168x+500=x

∴x=33600(个)

下面的“独眼巨人”中给出了另一种类型的数学题:

“这是一座独眼巨人的铜像,雕塑家技艺高超,铜像中巧设机关:

巨人的手、口和独眼,都连接着大小水管,通过手的水管,三天流满水池;通过独眼的水管——需要一天;从口中吐出的水更快,五分之二天就足够,三处同时放水,水池几时流满?”

设水池的容积为1,三管同开流满水池所需时间为x天,

则13x+x+52x=1

∴x=623

下面是我国的一首打油诗:

“李白提壶去买酒:

遇店加一倍,

见花喝一斗。

三遇店和花,

喝光壶中酒。

试问壶中原有多少酒?”

这首打油诗的意思是,李白的壶里原来就有酒,每次遇到酒店便将壶里的酒增加一倍;李白赏花时就要饮酒作诗,每次一次喝一斗酒(斗是古代装酒的器具),这样反复经过三次,最后将壶中的酒全部喝光,问李白原来壶中有多少酒?

解这道题最好使用反推法来解:

李白第三次见到花时,将壶中的酒全部喝光了,说明他见到花前,壶内只有一斗酒。进一步推出李白第三次遇到酒店前,壶里有12斗酒,按着这种推算方法,可以算出第二次见到花前,壶里有112斗酒,第二次见到酒店前壶里有112÷2=34斗酒;第一次见到花前壶134里有斗酒,第一次遇到酒店前,壶里有原来壶里有斗酒134÷2=78

原来壶里有78斗酒。

4.遗嘱里的数学题

在按遗嘱分配遗产的问题中,有许多有趣的数学题。

俄国著名数学家斯特兰诺留勃夫斯基曾提出这样一道分配遗产问题:“父亲在遗嘱里要求把遗产的13分给儿子,25分给女儿;剩余的钱中,2500卢布偿还债务。3000卢布留给母亲,遗产共有多少!子女各分多少!”

设总遗产为x卢布。

则有13x+25x+2500+3000=x

解得:x=20625。

儿子分20625×13=6875(卢布),

女儿分20625×25=8250(卢布)。

结果是女儿分得最多,得8250卢布,儿子次之,得6875卢布,母亲分得最少,得3000卢布,看来父亲是喜爱自己的女儿。

下面的故事最初在阿拉伯民间流传,后来传到了世界各国,故事说,一位老人养了17只羊,老人去世后在遗嘱中要求将17只羊按比例分给三个儿子,大儿子分给12,二儿子分给13,三儿子分19,在分羊时不充许宰杀羊。

看完父亲的遗嘱,三个儿子犯了愁,17是个质数,它既不能被2整除,也不能被3和9整除,又不许杀羊来分,这可怎么办?

聪明的邻居得到这个消息后,牵着一只羊跑来帮忙,邻居说:“我借给你们一只羊,这样18只羊就好分了。”

老大分18×12=9(只),

老二分18×13=6(只),

老三分18×19=2(只)。

合在一起是9+6+2=17,正好17只羊,还剩下一只羊,邻居把它牵回去了。

羊被邻居分完了。再深入想一想这个问题,我们会发现遗嘱中不合理的地方,如果把老人留的羊做为整体1的话,由于

12+13+19=1718

所以或者是三个儿子不能把全部羊分完,还留下118,哪个儿子也没给1817;或者是要比他所留下的羊再多出一只时,才可以分,聪明的邻居就是根据1718这个分数,又领来一只羊,凑成1818,分去1718,还剩下118只羊,就是他自己的那只羊。

再看一道有关遗嘱的题目:

某人临死时,他的妻子已经怀孕,他对妻子说:“你生下的孩子如果是男的,把财产的23给他,如果是女的25,把财产的给她,剩下的给你。”说完就死了。

说也凑巧,他妻子生下的却是一男一女双胞胎,这一下财产将怎样分?

可以按比例来解:

儿子和妻子的分配比例是23∶13=2∶1

女儿和妻子的分配比便是25∶35=2∶3。

由此可知女儿、妻子、儿子的分配比例是2∶3∶6,按这个比例分配就合理了。

5.民谣中的数学题

在世界各地流传着一些用民谣形式写成的数学题。

美国民谣:

“一个老酒鬼,名叫巴特恩,吃肉片和排骨共用钱九角四分,每块排骨一角一,每片肉价只七分,连排骨带肉片吃了整十块哟,问问你:吃了几块排骨几片肉,我们的巴特恩?”

可以这样来解算:

假设巴特恩吃的是十片肉片的话,他一共花70分钱,用94分减去70分,得差24分,这24分钱是什么呢!

由于巴特恩吃的不都是肉片,有排骨,而一块排骨比一片肉片贵11-7=4分,这24分是排骨和肉片差价得到的,可以求出巴特恩吃的排骨数:

(94-7×10)÷(11-7)

=24÷4=6(块)

10-6=4(片)

巴特恩吃了六块排,四片肉片。

中国也有类似的民谣:

“一队强盗一队狗,二队并作一队走,数头一共三百六,数腿一共八百九,问有多少强盗多少狗?”

这道题和《孙子算经》中的“鸡兔同笼”是同一种类型题,只不过,把鸡换成强盗,把兔换成狗就是了,具体算法是

(360×4-890)÷(4-2)=275

360-275=85

强盗有275人,狗有85条。

还有首中国民谣:

“几个老头去赶集,半路买了一堆梨,一人一个多一个,一人两个少两梨。

究竟有几个老头、几个梨?”

设人数为x,则梨为x+1个,依题意,得:

2x=(x+1)+2,

x=3,

x+1=4

“寒鸦与树枝”是一首俄罗斯的民谣:

“飞来几只寒鸦,落到树枝上停歇。

要是每支树枝上落下一只寒鸦,那么就有一只寒鸦缺少一支树枝;要是每支树枝上落下两只寒鸦,那么就有一支树枝落不上寒鸦。

你说共有几只寒鸦?

你说共有几支树枝?”

可以这样来解:

如果每支树枝上落两只寒鸦,比每支树枝落一只寒鸦共多出2+1=3只寒鸦,而这时每支树枝上所落寒鸦只数的差是2-1=1只。

用多出来的寒鸦数除以每支树枝寒鸦数,就等于树枝数。

因此,

(2+1)÷(2-1)

=3÷1=3(支)

寒鸦数为3+1=4(只)。

答案是有3支树枝,4只寒鸦。

下面这首民谣也很有趣,是中国民谣:

“牧童王小良,放牧一群羊。

问他羊几只,请你细细想。

头数加只数,只数减头数。

只数乘头数,只数除头数。

四数连加起,正好一百数。”

其实头数和只数是一回事,因此,只数减头数得0,只数除头数得1。这样一来,有:只数×只数+2×只数=99。

使用试验法,可得只数等于9,因为

9×9+2×9=99,故羊有9只。

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