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第4章 优秀小学生最爱玩的几何思维的游戏

51、拼八角星

将图12上的正八角形画在薄纸板上,中央再开个正八角形孔。要求将这图形剪成8块,把它们拼成一个八角星,并且也要有一个八角形的孔。

答案:答案在图13上。

52、连三角形

用橡皮泥把3根火柴的头连起来,很容易连成一个等边三角形(图14)。

现在用同样的方法,如何把9根火柴连成7个等边三角形呢?

答案:解这道题,不能局限在一个平面上,譬如说,不能把7个三角形都放在桌面上。必须“向空间发展”,搭成像图15上那样,带公共底的两个棱锥体。

53、分割铁片

一个十字形的铁片上有8个圆孔和4个方孔(图16)。怎样将铁片分隔成4个形状、尺寸相同的图形,同时每个图形中要有2个圆孔和1个方孔?

答案:切割线用虚线表示在图17上。

54、制造五个三角形

请在下图(图18)中加上三条直线,组合出五个三角形。

答案:如图(图19)所示。

55、直线与圆

如图(图20)所示,9个圆并排一起,以一笔画过的直线通过所有的圆。图中通过圆的直线有4个转折角,现在请你只能用一笔画过的直线通过圆,并且将转折角的数目减到最小。

答案:如图(图21)所示,只要考虑把直线画出9个圆之外,就能发现只需1个转折角就可以一笔通过所有的圆。

56、拼正方形

图形ABCDEF(图22)是由3块相等的正方形的木板构成。

要求把这图形截成2份,使截得的2份能拼成一个中心为正方形孔的正方形方框。并且正方形的孔还要与图形ABCDEF的任何一块正方形方块相等。

答案:取3块正方形的中心点分别为b、c、d,再取ED与DC的中心a、e。然后,照abcde线截割(图23a)。将截下的部分与剩余的部分拼接在一起(见图23b),就能得到我们要求的方框。根据同样的题目条件,还能找到另外的截线。

57、教室最大的三角形

学校的美术教室是一间壁面长、宽、高都是六公尺的正立方体。阿毛在墙上画了一个底部六公尺宽、高度六公尺长的三角形,并且宣称,在这间教室里,用三条直线所画出的三角形,以他这个方式画出来的最大,你认为阿毛说的对吗?

答案:不对。像图(图24)的这个画法,才是最大的。

58、对角线的长度

如图(图25)在四分之一圆内接一个长方形,其对角线AC的长度为多少?

答案:10cm。如图(图26)对角线AC和另一条对角线BD等长,而BD正好是圆的半径,所以,答案就是10cm。

59、巧移煤球

(图27)把10个煤球排列成一个正三角形,若要动三个最短距离的煤球,把三角形的方向整个倾倒过来,该如何移动呢?

答案:按照图(图28)的方法排列。

60、移动火柴

如图29,这是用17根火柴棒做成的长颈鹿,有人说他只要变动其中两根火柴棒,就可以再添一头小长颈鹿,你认为可能吗?

答案:可能。请参照图(图30),让大长颈鹿的腹部向外鼓出,肚子里面便又多了一头小长颈鹿宝贝。

61、三等分直角

这里有一张长方形的纸,在不使用任何工具的前提条件下,如何将一个直角折成三等分。

答案:如图31所示,将长方形对折后摊开,再将B角折向原对折的中线折痕处。

62、直线通过五边形

画一条通过五角形其中四边的直线。

答案:如图32。只要让中间凹进去,就可以画出一条通过四边的直线。

63、哪个图形为中间的圆

将以下图形(图33)外面四个圆中出现的线条和符号根据以下规则转移到中间圆中:

出现一次——转移

出现两次——可能转移

出现三次——转移

出现四次——不转移

图34中下面哪个图形为中间的圆?

答案:D

64、哪个图可以代替

在图35中,选项中的哪个盒子的平面展开图符合给出的平面展开图?

答案:D

65、8颗星

图36上由白方块组成4个形状大小一样的图形。现在要求在每个图形上各放2颗星。但不准2颗星(8颗星中的)处在同一横行或直行上,也不准在同一条对角线上。现在在其中的一块白方格内已放了1颗星,那么剩余的7颗星怎么放置?

答案:题目的答案只有一个,在图37上。为避免在试求答案时毫无头绪,可以用下面的方法来试:在第2直行的方格中放星时,应根据第1直行的方格中那颗星的位置,尽量把星放得低,同时遵照条件:只能把星放在白方格内;在第3直行的方格中放星时也应尽可能把星放在最低的白方格内,依此类推;总之后直行方格中放的星,应根据前直行方格中那颗星的位置尽量放得低。如果在这一直行中已没有地方可以放时,那么可以把前直行中的星的位置往上挪,挪的格数要尽可能少(但始终要遵守题目的条件);如果往上挪的星再没有地方好挪了时,索兴就把它拿掉,再把它之前的直行中的星往上挪,依此类推,然后继续放余下的星;只要逢到右直行中已没有位置可以放星的时候,就应该遵照上述规定:将左直行中已经放好的星往上挪。

66、用铅笔画线

用一枝铅笔在一张纸上画线,请问,用什么方法可以一次就同时画出两条线?

答案:如图(图38)所示,有两种方法可以用一枝铅笔一次画出两条线。第一种是把铅笔削成图(一)的模样,就可以画出一公分间隔的两条线;第二种是像图(二)一样,用两端削尖的铅笔,在左右两端的纸上同时画一条线。

67、分割梯形土地

有一次,当张三行经一块如图39般的梯形土地,其上种植了四棵樱桃树。若将此土地平均分给四个人,且每块地上均需有一棵树。请问应如何分割?

答案:如图(图40)。

68、平分土地

有一个人打算把这块怪状的土地(如图41)赠给那些能把它画分成两块相同大小、形状的人。你也来试试吗?

答案:如图(图42)所示划分即可。

69、火柴围梯形

图43是用五根火柴棒围成的梯形。现在请你变动其中的两根,并且另外再加一根,也就是一共用6根火柴棒,围成一个和左图这个梯形一样的图形。

答案:结果如图(图44)。

70、改造正方形

如何用最简单的方法将画在黑板上的正方形图(图45),改成面积百万分之一的正方形?不可使用尺和圆规。

答案:如图(图46)所示,只要用手指抹掉10中“0”的一部分,改成“c”,面积就变成百万分之一。

71、杨树站队

27棵杨树如图47那样很漂亮地种成9行,每行6棵,但园艺师却认为这种种法不好。有3棵树离得那么远,孤单单地耸立在那儿。

现在大家试把这27棵杨树换一种方式种,仍要保持9行,每行6棵,但要把这27棵杨树集中3堆,任何一棵也不能单独离得太远;并且排列上要对称。怎样才能满足要求呢?

答案:答案在图48上。

72、A山为什么好爬

一群登山健行的人表示,图49中的A山比B山平缓好爬。有这种可能吗?这张地图并没有画错啊!

答案:当然有。这两座山的形状如图(图50)。

73、围棋的另类玩法

将32枚围棋子分别放在标有数字的33个圈中(图51)。这时有一个小圈是空着的。

游戏规则:把所有的子吃掉,仅剩一子。剩下的子必须在最初空着的那个圈中。吃的方法:可以前后左右走,以一子跳过另一子跳到空圈,另一子就算吃掉了。每走一步只能吃一子,因此需走31步解决问题。

答案:设最初的空圈是1号圈。每一步用两个数字表示:前面的数字表示起步的圈号,后面的数字表示止步的圈号。答案如下:9-1;10-8;21-7;7-9;22-8;8-10;6-4;1-9;18-6;3-11;16-18;18-6;30-18;27-25;24-26;28-30;33-25;18-30;31-33;33-25;26-24;20-18;23-25;25-11;6-18;9-11;18-6;13-11;11-3;3-1。

74、遮挡窗户

小明想把自己房间的那个120×120平方厘米的正方形窗子遮住,可是手边又没有别的东西,只有一块长方形胶合板。胶合板的面积正好与窗的面积一样,但是尺寸不同,是90×160平方厘米的。

他想了一会,拿尺子在胶合板上迅速画了些线。照划好的线把胶合板锯成两块,用这两块正好拼成一块尺寸适合遮窗的正方形板。

请问小明是怎么做的呢?

答案:如图52。

75、截断磁铁

画个C形磁铁,再考虑画2条直线,然后照这2条直线把磁铁截成6段,截的时候不准移动马蹄铁。

答案:不能简单地将磁铁画成弧形就算了(图53a)。若不让磁铁的图形有立体感,那么随你想尽什么办法,用两条直线最多只能把马蹄铁截成5段。如图53b中的磁铁图形是切合实际的,并已表示出可以把它截成6段。

76、数字方阵

在图54中,2加9加4,7加5加3,6加1加8,其和均为15。其横的、直的、斜的加起来总和也都是15,这称作魔术方阵。那么,如果要制造一个总和均为16的方阵,应如何调整?此9个数字均为以目前的数加上某一个一样的数字。

答案:如图55。

77、会变的图形

将图56上的罐状图形画在纸上,再用两条直线形截线把它截成3份,要使这3份能拼成一个正方形。

答案:答案在图57上。

78、给皇帝补大衣

阿新是皇帝的毛皮匠。一天,皇帝命他将一件毛皮大衣补好。这件毛皮大衣不知为何破了一个不等边三角形的洞。阿新于是剪了一块同样的毛皮做补丁,但由于疏忽大意,剪下来的那块毛皮只能在反面补洞。这下可如何是好!如果被皇帝知道了,肯定会要了阿新的脑袋。阿新可以用什么办法把它翻个面,并且仍能保持原来的三角形形状呢?阿新终于想出办法,他把这块毛皮割开,再把割开的各块在原来位置上翻面,就可以使这块毛皮顺利地补在那件毛皮大衣上,阿新是怎么做的呢?

答案:设△ABC(图58)为需要翻面又仍要保持形状的那块毛皮的图形。BDAC。假定E和F是BC和AB边上的中点,那么毛皮匠应该按DE和DF线分割△ABC块,再将割开的每块在原来位置上翻个面然后缝好。这样的话,毛皮块△ABC就可以翻过面来了,并且仍能保持原来的形状。我们可以用几何定理来证明这个方法。直角三角形中与斜边垂直的中线等于1/2斜边。DF和DE正好是直角△ADB和△BDC的中线,因此DF=AF=FB和DE=BE=CE。由此△FBE△FDE,而△AFD和△DEC是等腰三角形。也就是说,如果将等腰△AFD和△DEC以它们的高为轴心翻个面,再将四边形FBED以FE为轴心翻个面,那么几个图形仍以原来的形状处在原来的位置上。还可以用别的方法来解。但这里用的是最简单的解法。

79、组合图形

若将三支指挥棒如下图(图59)般组合起来可产生五个直角。如果想利用三支棒子做成十二个直角,请问应该如何组合?但是,指挥棒的厚度不考虑。

答案:如图(图60)。值得注意的是,这是一个立体图形。

80、图形填空

如图61所示,按前三个图的顺序,第四个图应是ABCDE中的哪一个?

61

答案:E

81、排火柴棒

用边长为2根、3根、4根火柴棒排出如图(图62)的三角形。现在你要在不能折断、弯曲火柴棒的情况下,只能用另外2根火柴棒把这个三角形分成两个面积相等的图形,请问要怎么排呢?

答案:如图(图63)所示。

82、测量立方体

如下图(图64)所示,用8块等大的石头堆成的立方体上,假设P到A的长度为1,P到B的长度为2;那么从P要画到立方体的哪里长度才为3呢?请以直线距离测量。

答案:如图(图65)中所示的点上。

83、穿过六边形

如图66,如果想用直线穿过一个正六角形所有的边的话,最少需要几条线?

答案:1条。用图(图67)所示的方法。

84、阻击平行线

AB和CD是两条平行线段。(图68)但有人表示,他只要画上3条线就能让它们不能平行。在不能变动AB、CD的情况下,这个人会怎么做呢?

答案:如图69。他只要作出一个立体的四面体(B为顶点,ACD为底面)就行了。

85、前方作业

四位下属分别对上司报告。A说:“B正在我的前方作业。”B说:“C正在我的前方作业。”C说:“D正在我的前方作业。”D说:“A正在我的前方作业。”

请问,有这种工作情况吗?

答案:有。如图70所示,在太空船里作业就是一例。

86、不同的旗帜

一个人决定制作旗帜。因为他不想让三种色彩的墨水相互渗透弄混,所以如图71般画线区隔出不同的色彩。请问在同色不相邻的原则下,这个人可以制作出几种旗帜呢?

图71

答案:36种。只要利用A、B、C三种色彩和旗帜素面时D的色彩,便能做出如图72表中所列的36种旗帜。

87、分割钟面

如果要用一条直线,将时钟的钟面分成两半,让这两半的数字各自相加起来的总和相等,我们可以把这条直线像下图(图73)这样画。

而假若我们要让两边数字各自相加的总和,呈一比二的比例,则这条直线应该如何画才好?

答案:如图(图74)这样画。

88、水沟与木板

如图75,长方形的广场周围,被等宽的水沟所包围,现在有两块长度和水沟宽度相等的木板,问怎样使得两块木板变成水沟上面的桥梁?

答案:如图76,可以用不等式<3的数学定理求证。另外,在水沟的部分画上将宽度平分为等分的虚线也能够证明。

89、折叠立方体

左面的图形(图77)可以折成一个立方体,右面立方体中只有一个是正确的,哪一个是正确的?

答案:A

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