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第6章 倒推法(2)

现在有另外一个企业B准备从事房地产开发。面对着B要进入其垄断的行业,A想:一旦B进入,A的利润将受损很多,B最好不要进入。所以A向B表示,你进入的话,我将阻挠你进入。假定当B进入时A阻挠的话,A的利润降低到2亿,B的利润是一1亿。而如果A不阻挠的话,A的利润是4亿,B的利润也是4亿。

这是房地产开发商之间的博弈问题。A的最好结局是“B不进入”,而B的最好结局是“进入”而A“不阻挠”。但是,这两个最好的结局却不能同时得到。那么结果是什么呢?

A向B发出威胁:如果你进入,我将阻挠。而对B来说,如果进入,A真的阻挠的话,它将受损失-1(假定-1是它的机会成本),当然此时A也有损失。对于B来说,问题是:A的威胁可信吗?

28.分牛【中级】

从前有个农民,一生养了不少牛。去世前留下遗嘱:牛的总数的一半加半头给儿子,剩下的一半加半头给妻子,再剩下的一半加半头给女儿,再剩下的一半加半头宰杀了犒劳帮忙的乡亲。农民去世后,他们按遗嘱分完后正好一头不剩。他们各分了多少头牛?

29.傲数学题【高级】

有这么一个数,当它加上100后,所得的数是一个正整数的平方,然后用所得的数,再加上68,又是另外一个正整数的平方。你能算出这个数是多少吗?

30.警察抓小偷【高级】

在这个游戏里,警察(灰色的点)在抓小偷(黑色的点)。警察先移动,然后交替着移动,从一个圆圈到相邻的圆圈。如果警察移动时可以把灰点放到黑点上,那么他就抓住了小偷。警察能否在十步之内抓住小偷?

31.有趣的赌博【高级】

杰克和杰瑞在玩一个小小的赌博游戏。杰克开始分牌,并且定下了如下规则:第一局输的人,输掉他所有钱的1/5;第二局输的人,输掉他那时拥有的1/4;而第三局输的人,则须支付他当时拥有的1/3。

于是他们开始玩,并且互相间准确付了钱。第三局杰瑞输了,付完钱后他站起来说:“我觉得这种游戏投入的精力过多,回报太少。直到现在我们之间的钱数,总共才相差7元钱。”这自然是很小的赌博,因为他们合起来一共也只有75元钱的赌本。

试问,在游戏开始的时候杰克有多少钱呢?

32.失落的数字【高级】

把失落的数字补上,使方程式成立。

33.魔术【高级】

有一天,豆子和小羽在看电视上的一个魔术节目。魔术师邀请了5位现场观众上来参与表演,他先让观众检查他手上的牌有没有问题,然后请观众在52张扑克牌中任选25张。魔术师将这25张牌分成5组,要5位观众各选一组,再从各自选择的那组中选出一张“记在心里”,就是不可以跟任何人讲,没有人知道观众心里记的是什么牌,当然,魔术师也不知道。这时候,魔术师将25张牌收回来,然后开始洗牌,只见其手法利落,纸牌如飞般地重新编组,然后他又将牌分成5组,先拿出第一组5张,问5位观众,是否这5张中有他们心中的牌。若有则点头,但不需说出是哪一张;若无则摇头。当然,第一组牌问完后又问第二组牌,以此类推。然后魔术师将手中的牌分组后,在5个观众面前分别放一张牌,然后问观众,是否这张牌就是他们心中的牌。当然,结果就是他们心中记忆的牌。电视机旁的小羽拼命鼓掌。“这不过是巧用数学罢了,”在一旁沉思已久的豆子兴奋地说,“如果我有他的洗牌技术,我也可以表演这个魔术。”请问:豆子说的是真的吗?

答案

1.比赛的成绩

是可以的。如果第一次比赛的成绩排名是:甲,乙,丙,丁;第二次是:乙,丙,丁,甲;第三次是:丙,丁,甲,乙;第四次是:丁,甲,乙,丙。那么,甲比乙成绩高的三次是第一、三、四次;乙比丙成绩高的三次是第一、二、四次;丙比丁成绩高的是第一、二、三次;丁比甲高的是第二、三、四次。

2.公主选婿

本题用倒推法,可以很容易知道第三个人得到6个李子。第二个人之前是14个,最开始有30个。

3.加入单位

300(米)+700(米)=1(千米)

240(小时)-24(小时)=9(天)

4.各行了多少公里

8000公里。车行驶时用4个轮胎,也就是4个轮胎各行了10000公里,共行了40000公里。如果5个轮胎均匀使用,即40000/5=8000公里。

5.分摊的费用

乙给甲44元,丙给甲67元(根据三人所乘车的路程平均分配)。

6.瓶子的容积

首先,测出瓶底的直径。这样就能够算出瓶底的面积。然后测液体的高度。再颠倒瓶子,测其中空气的高度。把它们加起来后乘上瓶底面积,就是瓶子的体积了。

7.如何换轮胎

把这8个轮胎编上号码,每过5000公里,就换一次轮胎,这样所有轮胎可以使用4次。换轮胎的顺序如下:123,124,134,234,456,237,567,568,578,678。这样,正好可以行驶5万公里。

8.要钱币

你说:你不会给我5角硬币和1角硬币。

9.关于岁数的回答

儿子5岁,女儿1岁,她25岁,她老公50岁。

193.加符号

1×2+3×4+5×6+7+8-9=50

1+2+(3+4)×5+6+7+8-9=50

123-4×5×6+7×8-9=50

10.猎人的挂钟

猎人两次经过电信局的时间分别是900和1000,说明他采购的时间是1个小时。而他全程的时间是从635~1035,一共4个小时。也就是说他从家走到电信局用了(4-1)/2=15小时。到达电信局的准确时间是900,所以出发的时候应该是730,到家的时间应该是1130。

11.时钟的问题

12个小时中有11次重合的机会。而这些机会是均等的,所以每隔12/11小时就会出现一次。具体时刻大家可以自己推算出来。

12.三针重合

也许你还在进行烦琐的计算吧,而且算起来也颇费力,其实只有一种可能,那就是只有在三个指针都指向12的时候,三针才会完全重合。所以一天内只有两次。

13.爬行的乌龟

每只乌龟从开始爬动到相聚要走300厘米,需爬行时间为300秒。

14.聪明的匪徒

应该从头目后面第4个人开始数起。

思考方法:先从任意一个人开始点名,直到剩下最后一个人,记下这个人的位置。然后数一下最后剩下的人与匪徒头目的距离,把第一个点名的人向相同方向移动这个距离开始数即可。这样最后剩下的就是这名头目了。

15.打气球

如果10个气球都是甲打的,那乘以2应该是20。现在是26,说明有6个被乘以了3,所以乙打了6个,而甲打了4个。

16.换不开

1枚50美分、1枚25美分和4枚10美分。

17.字母分别代表什么

A代表2,B代表1,C代表9,D代表7,E代表8。

18.韩信点兵

他至少带了2519个兵。要想每排人站齐,人数必须是每排人数的倍数,也就是只有10、9、8、7……2的公倍数,才能做到无论怎样排都是整排的。10、9……2的最小公倍数是2520。所以韩信的兵数至少是2519人。

19.投资问题

250万元买1/3的股份,那么,总资产应该是750万元。由于甲掌握的股份是乙的15倍,那么,他的股份是450万,乙的是300万。如果让三位合作伙伴股权相等,都是250万,那么甲应该得到200万,乙应该得到50万。

20.称重

两个砝码放左边,右边放糖,平衡后把左边的砝码换成糖,左边应该是1千克。

21.疯狂飙车

两兄弟交换了他们的车进行比赛。

22.兔子背胡萝卜

先背50根到25米处,这时,吃了25根,还有25根,放下。回头再背剩下的50根,走到25米处时,又吃了25根,还有25根。再拿起地上的25根,一共50根,继续往家走,还剩25米,要吃25根,到家时剩下25根。

23.见面分一半

一共有5位神仙分走了小猴子的桃子。最后剩下1个,则遇到最后一个神仙时还有(1+1)×2=4个;遇到第四个神仙时有(4+1)×2=10;遇到第三个神仙时有(10+1)×2=22;遇到第二个神仙时有(22+1)×2=46;最开始有(464-1)×2=94。所以小猴子原来有94个桃子。

24.分面粉

第一次,在天平的左边放两个砝码2+7=9克,右边放9克面粉。

第二次,在天平的左边放7克的砝码和刚量出的9克面粉,7+9=16克,右边放16克面粉。

第三次,在天平的左边放前两次分出的9+16:25克面粉,右边放25克面粉。

两个25克的面粉混合在一起,即得50克,剩下的为90克,分配完毕。

测出的面粉还可以当做砝码来测量物品.所以只要用2、7及它们的和9凑出25即可,很简单,7+9+9=25。

25.聪明的贩马人

他就带了2匹马。

26.大赛的冠军

他是这样推论的:设另外两个人分别为甲和乙。

甲举手了,这说明我和乙两人中,至少有一个人是戴红帽子的。

同样,乙举手了,这说明我和甲两人中,至少有一个人是戴红帽子的。

如果我头上不是戴红帽子,那么,乙一定会想:“甲举了手,说明乙和我至少有一个人头上戴红帽子,现在,乙明明看到我不戴红帽子。所以,乙一定戴红帽子。”在这种情况下,乙一定会知道并说出自己戴红帽子。可是,他并没有说自己戴红帽子。可见,我头上戴的是红帽子。

同理:如果我不是戴红帽子,甲的想法也会和乙是一样:“乙举了手,这说明甲和我两人中至少有一个人头上戴红帽子。现在,甲明明看到我头上不戴红帽子。所以,甲一定戴红帽子。”在这种情况下,甲一定会知道自己戴红帽子,可是,甲并没有这样说。所以,我头上戴的是红帽子。

27.倒推法博弈

B通过分析得出:A的威胁是不可信的。原因是:当B进入的时候,A阻挠的收益是2,而不阻挠的收益是4。4>2,理性人是不会选择做非理性的事情的。也就是说,一旦B进入,A的最好策略是合作,而不是阻挠。因此,通过分析,B选择了进入,而A选择了合作。双方的收益各为4。

在这个博弈中,B采用的方法为倒推法,或者说逆向归纳法,即当参与者作出决策时,他要通过对最后阶段的分析,准确预测对方的行为,从而确定自己的行为。

在这里,双方必须都是理性的。如果不满足这个条件,就无法进行分析了。

另外,作为A,从长远的利益出发,为了避免以后还有人进入该市场,A会宁可损失,也要对进入者做些惩罚。这样的话,就会出现其他结果。大家可以继续深入思考一下。

28.分牛

因为“剩下的一半加半头宰杀犒劳帮忙的乡亲”,只有剩下1头时,一半加半头才能正好一头不剩地分完。所以可以推出,一共15头,分别分到了8、4、2、1头。

29.做数学题

这个数是156。

30.警察抓小偷

小偷将一直领先一步,除非警察改变游戏的奇偶性。这点警察可以做到,只要他走过三角形街区一次。

31.有趣的赌博

第三局结束后,两人钱数之和是75元。之差是7元,所以,最后一个有41元,一个有34元。由于只有34能被2整除,而杰瑞第三局输了,所以杰瑞的钱是34元。所以第二局结束时,杰瑞的钱是34/2×3=51元,杰克是75-51=24元。24和51都能被3整除,所以无法判断谁赢了第二局。

假设杰瑞赢了第二局,则第一局结束时,杰瑞的钱是51/3×4=68元,杰克是75-68=7元。由于只有68能被4整除,所以第一局也是杰瑞赢了,最开始杰瑞的钱是68/4×5=85元,85大于75,所以假设错误,第二局是杰克赢了。

这样第一局结束时,杰克的钱是24/3×4=32元,杰瑞是75-32=43元。由于只有32能被4整除,所以第一局也是杰克赢了,则最开始杰克的钱是32/4×5=40元,而杰瑞是70-40=35元。

32.失落的数字

从算式的最后一层可看出(有些数字用字母表示),c=0。efg-hij是三位数,而lmnp-rst是两位数,所以lmnp>efg,因此rst>hij,这样b>7。a和d分别与除数相乘后都得四位数,由此a>b,d>b,这样只可能b=8,a=d=9,现在得商是97809。

因rst≤999,所以除数不能大于124。xy不能大于11,应是10或11,又lmnp≥1000,因此rst>988,123×8=984,所以除数一定大于123。

除数只能是124,被除数是124×97809=12128316,如图2。

33.魔术

用洗牌技巧使得重新洗完牌后,原来每组牌的第一张按顺序成为第一组,原来每组牌的第二张按顺序成为第二组,依此类推。

这样,当观众点头的时候,这位观众刚才抽的第几组,现在这组牌里的第几张就是他刚才记下的牌。

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