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第18章 假设法(3)

在情况B下,1月份的第一个星期二不能迟于1月1日,否则随后的那个星期一将是1月份的第二个星期一。因此,杰瑞是1月1日开始去健身俱乐部的,而汤姆是1月7日开始去的。于是根据(1)和(2),他们两人在1月份去健身俱乐部的日期分别为:

杰瑞:1日,5日,9日,13日,17日,21日,25日,29日;

汤姆:7日,12日,17日,22日,27日。

因此,汤姆和杰瑞相遇于1月17日。

28.判断性别

因为三人中有一位父亲、一位女儿和一位同胞手足。如果A的父亲是C,那么C的同胞手足必定是B。于是,B的女儿必定是A。从而A是B和C二人的女儿,而B和C是同胞手足,这是乱伦关系,是不允许的。因此,A的父亲是B。于是,C的同胞手足是A。从而,B的女儿是C,A是B的儿子。因此,C是唯一的女性。

29.猜扑克牌

所有扑克牌的情况如下:

30.结的影子

对于绳子上的3个相交处,共有8种可能的交错情况。其中只有2种能形成一个结,所以概率是1/4。

31.猴子的谎言

(1)假设小猴子的话是假的,那么小猴子摘的桃少于大猴子,大猴子就只有1个,这是矛盾的。所以,小猴子的话是真的,小猴子≥大猴子,大猴子摘的桃不可能是1个。

(2)假设中猴子的话是假的,中猴子摘的桃少于小猴子,小猴子是2个,所以中猴子就是1个。那么,大猴子的话就成了假的,而且必须是大猴子摘的桃少于中猴子,这与(1)矛盾。所以,中猴子的话是真的,中猴子≥小猴子,小猴子摘的桃不可能是2个。

根据(1)、(2)可知,可能性有以下几种:

(3)大猴子2个、小猴子3个、中猴子3个。

(4)大猴子3个、小猴子3个、中猴子3个。

在(4)的情况下,大猴子和中猴子是同样的,但是,大猴子又撒了谎,这是不可能的。

所以,(3)是正确答案。即大猴子2个、小猴子3个、中猴子3个。

32.酒吧问题

每个参与者只能根据以前去的人数的信息归纳出策略来,没有其他信息,他们之间更没有信息交流。

这是一个典型的动态博弈问题,这是一群人之间的博弈。如果许多人预测去酒吧的人数多于60,而决定不去,那么,酒吧的人数将很少,这时候预测就错了。如果有很大一部分人预测去酒吧的人数少于60,因而去了酒吧,则去的人很多,多过60,此时他们的预测也错了。因此一个作出正确预测的人应该能知道其他人如何作出预测的。但是在这个问题中每个人的预测信息来源是一样的,即都是过去的历史,而每个人都不知道别人如何作出预测,因此,所谓的正确预测是没有的。每个人只能根据以往历史“归纳地”作出预测,而无其他办法。阿瑟教授提出这个问题也是强调在实际中归纳推理对行动的重要性。

因此,对于这样的博弈的参与者来说,问题是他如何才能归纳出合理的行动策略。

例如,如果前面几周去酒吧的人数如下:

44,76,23,77,45,66,78,22

不同的行动者可作出不同的预测,例如预测:下次的人数将是前4周的平均数(53),两点的周期环(78),与前面隔一周的相同(78)。

通过计算机的模拟实验,阿瑟得出一个有意思的结果:不同的行动者是根据自己的归纳来行动的,并且,去酒吧的人数没有一个固定的规律,然而,经过一段时间以后,去酒吧的平均人数很快达到60。即经过一段时间,这个系统中去与不去的人数之比是6040,尽管每个人不会固定地属于去酒吧或不去酒吧的人群,但这个系统的这个比例是不变的。阿瑟说,预测者自组织地形成一个生态稳定系统。

这就是酒吧问题。对于下次去酒吧的确定人数,我们无法作出肯定的预测,这是一个混沌现象。

首先,混沌系统的行为是不可预测的。对于酒吧问题,由于人们根据以往的历史来预测以后去酒吧的人数--我们假定这个过程是这么进行的--过去的历史人数就很重要,然而过去的历史可以说是“任意的”,未来就不可能得到一个确定的值。

其次,这是一个非线性过程。所谓非线性过程是说,系统未来对初始值有强烈的敏感性。这就是人们常常说的“蝴蝶效应”:在北京的一只蝴蝶扇动了一下翅膀,最后导致美国华盛顿下了一场大暴雨。

在酒吧问题中,同样有这样的情况。假如其中一个人对未来的人数作出了一个预测而决定第n天去还是不去酒吧,他的行为反映在下次去酒吧的人数上,这个数目对其他人的预测及第n+1天去和不去的决策造成影响,即第n+1天中去酒吧的人数中含有他第n天的决策的影响。而他对第n+2天人数的预测要根据n+1的人数,这样,他第n天的预测及行为给其他人造成的影响反过来又对他第n+2天的行为造成影响。随着时间的推移,他的第n天的决策的效应会越积越多,从而使得整个过程是不可预测的。

生活中有很多例子与这个模型是相同的。比如社会上经常举行的所谓大众评选活动,如全社会进行的“十佳运动员”评选活动、电影爱好者的“百花奖”的评选活动。在这些投票过程中,对于每个投票者的激励是:他如果“正确地”选中某些人,比如“十佳运动员”的评选,不仅要选中10个人,而且顺序也要正确,那么投票者将获得某种奖励。但是如何才能选中“正确的”人选呢?有“正确的”人选吗?得票多的就是“正确的”吗?严格地说:得票最多的是第一名(比如“十佳运动员”中的第一),得票次之的是第二名(如“十佳”运动员中的第二名),等等。因此,投票者能够选中的话,或者说被他提名的能够当选的话,关键是猜测到别人的想法。猜测对了,你就能获奖;猜测错了,你则不能获奖。在这里,我们可以看到没有正确与否,或者谁应该选上、谁不应该选上的问题,而是投票的人相互猜测的结果(在这个过程中当然舆论的导向作用是很大的,它似乎告诉人们某某人是其他许多人所要选的)。这个例子与酒吧问题的结构是一样的,只不过评选是一次性的,没有过去的历史可以归纳。

另外一个例子是,每年高校招生或研究生报名都呈现出混沌现象,考生通过各种渠道弄清以往专业的报名情况,因为一个简单的道理是:如果报名的人太多,竞争太强,被录取的可能性就低。考生一般根据以往几年的情况来推测当年报名的情况,然而这会造成不准确预测。当考生看到以往几年报名的人很多时,他会想下次人还很多,因而他不敢报名。一旦大多数考生这么想,下次报名的人反而少了;反之,则又多了。这与酒吧问题有一致的结构。

33.花瓣游戏

后摘的可以获胜。首先,如果先摘的人摘一片花瓣,那么,后摘的人就在花瓣的另一边对称的位置摘去两片花瓣;如果先摘的人摘了两片花瓣,那么,后摘的人在花瓣的另一边摘一片花瓣。这时还剩下10片花瓣,而且被分为相等的两组,每组5片相邻的花瓣。在以后的摘取中,如果先摘的人摘一片,后摘的人也摘一片;如果先摘的人摘两片,后摘的人也摘两片。并且摘的花瓣是另一组中对应的位置,这样下去,后摘者一定可以摘到最后的那片花瓣。

34.理性的困境

A提方案时要猜测B的反应,A会这样想:根据理性人的假定,A无论提出什么方案给B--除了将所有100元留给自己而一点不给B留这样极端的情况,B只有接受,因为B接受了还有所得,而不接受将一无所获--当然,此时A也将一无所获。此时理性的A的方案可以是:留给B一点点,比如1分钱,而将9999元归为己有,即方案是99990.01。B接受了还会有001元,而不接受,将什么也没有。

这是根据理性人的假定的结果,而实际则不是这个结果。英国博弈论专家宾莫做了实验,发现提方案者倾向于提5050,而接受者会倾向于:如果给他的少于30%,他将拒绝;多于30%,则不拒绝。

这个博弈反映的是“人是理性的”这样的假定,在某些时候存在着与实际不符的情况。

理性的假定与实际不符的另外一个例子是“彩票问题”。

我们说理性的人是使自己的效益最大,如果在信息不完全的情况下则是使自己的期望效益最大。但是这难以解释现实中人们购买彩票的现象。

人们愿意掏少量的钱去买彩票,如买福利彩票、体育彩票等,以博取高额的回报。在这样的过程中,人们自己的选择理性发挥不出来,唯有靠运气。在这个博弈中,人们要在决定购买彩票还是决定不买彩票之间进行选择,根据理性人的假定,选择不买彩票是理性的,而选择买彩票是不理性的。

彩票的命中率肯定是很低的,并且命中率与命中所得相乘肯定低于购买的付出,因为彩票的发行者早已计算过了,他们通过发行彩票将获得高额回报,他们肯定赢。在这样的博弈中,彩票购买者是不理性的:他未使自己的期望效益最大。但在社会上有各种各样的彩票存在,也有大量的人来购买。可见,理性人的假定是不符合实际情况的。

当然我们可以给出这样一个解释:现实中人的理性的计算能力往往用在不符合实际情况的“高效用”问题上,而在“低效用”问题上,理性往往失去作用。在购买彩票问题上,付出少量的金钱给购买者带来的损失不大,损失的效用几乎为零,而所能命中的期望也几乎是零,这时候,影响人抉择的是非理性的因素。比如,考虑到如果自己运气好的话,可以获得高回报,这样可以给自己带来更大的效用,等等。彩票发行者正是利用人存在着“低效用的决策陷阱”而寻求保证赚钱的获利途径。

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