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第21章 历史上的算经

第二十章历史上的第一部算经:《九章算术》

在中国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》相媲美的书,这就是历来被尊为算经之首

的《九章算术》。它是我国现存最早的数学专著,其传本包括《九章算术》原文、曹魏刘徽

注、唐初李淳风等注释三部分内容。

《九章算术》集先秦至西汉我国数学知识之大成,到唐时列入国子监算学诸生必读的“十部

算经”之一。全书搜集了246个问题,按问题性质和解法将246个问题分为9章,系统地总结

了先秦至西汉时期的数学成就,许多成果在当时都处于世界领先地位。它的成书标志着中国

传统数学体系的确定。

《九章算术》刘徽作注

关于《九章算术》的作者仍然是个谜,然而1983至1984年在湖北省江陵县张家山247号汉墓

中所发现的几部竹简书已弄清一些背景情况。其中有一部名为《算数书》,其体例及内容看

上去与《九章算术》的体例内容有密切的关系。但这部著作损坏严重,因而迄今只颁布了有

关其内容的一段简短而初步的叙述。对《九章算术》作注释最早的可能是徐岳(活跃于220年

左右),据说他也是至今尚存的《数术记遗》一书的作者。他的注释一直到隋唐都为人所知

,但到宋代却失传了。至今尚存的最早注释为刘徽所作,据《隋书》卷十六,第404页载,

刘徽作注于曹魏时代,其年代为263年。然而,在关于圆田面积的注释中,刘徽提到了保存

于晋武库(建于265)中的铜斛,由此可知,他在为新王朝服务的同时还一直对《九章算术

》作注。

刘徽的注释为古代数学的伟大成就之一,然而遗憾的是当今对他的生平身世难以考证,只知

道他是山东邹平人。刘徽

是一位大数学家,尤其是以他对圆周率所作的研究而闻名。刘徽证得圆周率的

最终值相当于π=314。

另外要指出的是,刘徽在对《九章算术》作完注释之后,又新增加了“重差”一章,论述使

用晷表测望的方法。隋唐时,这部分内容作为第十章仍缀于《九章算术》之后,但是到了唐

代,它开始以单行本流行传播,并被人依据它第一个问题的名称取名为《海岛算经》,此书

至今仍然存在。

656年,李淳风奉敕编写为太学所使用的数学课本(《旧唐书》卷七十九

,第2719页),出于此目的,他以带有刘徽注释本子为底本,对《九章算术》作了一个再注

本。李注中保存了一些令人关注的早期资料。正是由于他的工作才使得通行本固定了下来。

此外,北宋皇家图书馆成员李籍也提供了注释资料,在该书于1084年刊印以前,他还增添了

一篇附录,名为《九章算术音义》。

从《九章算术》的连贯性及条理性足以表明它很可能由单一作者写成或编纂而成。它属于汉

代著作,这从来无人置疑,但它所包含的数学知识中有很多至少可以追溯到战国时代。

《九章算术》通行本的真实性是无庸置疑的,关于这部著作尚存的所有版本皆可追溯到北宋

皇家图书馆于1084年所刊印发行的一部收有九种数学著作的丛书(其中也包括《周髀算经》)

。《九章算术》与刘徽、李淳风的注释以及李籍的附录一同得到了刊印,这种印本并没有保

存到现在,而我们所得的是鲍浣之于1213年重新刊印后所保留的本子。据他的后叙中所言,

在1126年北宋灭亡之后,关于《九章算术》的研究几乎彻底停滞了,当时不仅很少有学者对

此问题感兴趣,而且惟一可得的本子也缺少刘注与李注等必要的注释,而且说成是黄帝所作

。

庆幸的是,1200年夏,一册1084年皇家图书馆原印的本子落到了鲍浣之一位杭州朋友之手,

于是他抄写下来并予以刊刻。到了明代,鲍本被抄入了《永乐大典》中。一部鲍本的残本(

只有1到5章)现藏于上海图书馆。

算经之首领先世界

《九章算术》分类搜集了246个问题,并给出了每

个问题的解答,显然该书旨在对当时的数学知识作出全面叙述。并且

每举出一个问题之后,紧接着是数值答案,然后是解题的详细过程。每个问题都以特殊的数

字实例来表述。在缺乏代数表示法的情况下,解题方法用修辞法来表述,即描述对于数据所

实施一系列算术运算的语言指令。它从未明确尝试想要证明所用方法的有效性。书中的246

个应用问题,分属方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章。

方田章给出了求得矩形、三角形、梯形、圆形、弓形、扇形、环形等各种形状田亩面积

的法则。

在计算圆形的面积中设定π=3;

而对于弓形、扇形所给出的法则是近似的。

就直线构成的图形而言,所给出的法则是精确的。

此外,本章还阐明了分数运算的法则。分数的通

分、约分和加减乘除四则运算的完整法则。后者比欧洲早1400多年。粟米章提出比例算法,

称为今有术。衰分章提出比例分配法则,称为衰分术。商功章除给出了各种立体体积公式外

,还有工程分配方法。均输章用衰分术解决赋役的合理负担问题。

今有术、衰分术及其应用

方法,构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西

方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。

盈不足章提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题,以及若干

可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。

方程章采用分离系数的方法表示线性方程组,相当于现在的矩阵。这是世界上最早的完整的

线性方程组的解法。

这一章还引进和使用了负数,并提出

了正负术——正负数的加减法则,与现今代数中法则完全相同;解线性方程组时实际还施行

了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就,第一次突破了正数的范围,扩展了

数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。

勾股章提出了勾股数问题的通解公式:若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦,则c:b:a=12 (m2+n2):mn: 12 (m2+n2),m>n。在

西方,毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况,直到3世纪的丢番图才

取得相近的结果,这已比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些内容,在西方却还是

近代的事。例如,最后一题给出了这样一组公式:a=2(c-a)(c-b) +(c-b

),b=2(c-a)(c-b) +(c-a),c=2(c-a)(c-b) +(c-a)+(c-b)。这项成

就,在国外直到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。

由上述,可以看出《九章算术》以计算为中心的特点,密切联

系实际,以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深,以致以后我国数

学著作大体采取两种形式:或为之作注,或仿其体例著书;甚至西算传入中国之后,人们著

书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入“九章”的框架。

《九章算术》的算法抽象,相互关系不明显,显得零乱。刘徽大大发展深化了中算中

长久使用的率概念和齐同原理,把它们看成运算的纲纪。许多问题,只要找出其中的各种率

关系,通过“乘以散之,约以聚之,齐同以通之”,都可以归结为今有术求解。

把一个平面(或立体)图形分解

成若干部分,各部分面积(或体积)之和与原图形面积(或体积)相等。一平面(或立体)图形经

过平移或旋转,其面积(或体积)不变。基于这两条不言自明的

前提的出入相补原理,是我国古代数学进行几何推演和证明时最常用的原理。刘徽发展了出

入相补原理,成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公

式和算法的正确性。

在数学证明中成功地运用无穷小分割和极限思想,是刘徽最杰出的贡献。

《九章算术》提出圆面积公式为S=l2π·r(S为圆面积,l为圆周长,r为半

径)

。刘徽根据此公式,求出了π的两上近似值15750和3927

1250, 在中国第一次创立了求圆周率的科学方法,奠定了我国圆周率研究在世界

长期领先的基础。

刘徽注关于体积问题的研究已经接触到现代体积理论的核心问题,认为四面体体积的解决是

多面体体积理论的关键,而用有限分割和棋验法无法解决其体积。为了解决这个问题,他提

出了一个重要原理“邪解堵,其一为阳马,一为鳖臑。阳为居二,鳖臑居一,不易之率也”,这就是所谓

的刘徽

原理。而近代数学大师高斯、希尔伯特才讨论这个问题,已是近100多年以来的事。

关于祖晅之原理刘徽进行了多方面的阐述,并由

此证明了《九章算术》中球体积公式的错误。他设计了牟合方盖,指出球与牟合方盖的体积

之比是π∶4,只要求出后者的体积就可以求出球体积了。他尽管没能求出牟合方盖的体积

,但诚恳地表示“以俟能言者”,表现出刘徵的坦荡胸怀。这个问题后来由祖冲之

父子彻底解决,李淳风注释《九章算术》时详细记述了祖氏的方法。

刘徽注中还有其他方面的辉煌成就,如对开方不尽,提出继续开方,求其“微数”,以十进

数逼近无理根,开十进小数之先河;他还认识到不定方程有无穷多组解,等等,刘徽注形成

了一套数学体系,他说“事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本干知,发其一端而已。”

他认为数学是“规矩”与“度量”亦即空

间形式与数量关系的统一。基于这些深刻的认识,他的证明除个别失误外,都论点明确,论

据充分,条理清晰,推理严谨;而且大都使用演绎推理,不是循环论证,是严格的数学证明

。有了刘徽的证明,《九章算术》的公式解法,才能得到后人的认可。

《九章算术》及其刘徽注,以杰出的数学成就,独特的数学体系,对整个世界的数学发展产

生了深远的影响,在科学史占有极为重要的地位。它的出现,标志

着从公元前1世纪开始,中国取代古希腊成为世界数学的中心,奠定了中国数学领先世界1500多年的基础。今天,随着计算机的出现和发展,它所蕴含的算法和程序化思想,仍给

数学家以启迪。吴文俊先生指出“《九章》所蕴含的思想影响,必将日益显著,在下一世纪

中凌驾于《原本》思想体系之上,不仅不无可能,甚至已是殆成定局,本人认为也绝非过甚

妄测之辞。”

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