看来，许多同学对数学学科的特点之一——准确性是缺乏足够的认识的。
一篇作文，主题明确，中心突出，构思严谨，文字优美，虽说有一两个错别字，是缺点，但也无伤大雅，仍不失为一篇好文章。数学则不然，不仅解题思路要正确，具体解题过程也不能出错，差之毫厘，往往失之千里。
从前，医生常推荐儿童和康服的病人多吃菠菜，据说它含有大量的铁质，有养血、补血的功能。
可是，约八、九年前，前联邦德国弗里堡大学化学专家劳尔赫在研究化肥对蔬菜的有害作用时，无意中发现，菠菜的实际含铁量并不象宣传的那样高，只有各种教材和手册中所规定数据的十分之一！
劳尔赫感到很诧异，便进一步对多种菠菜叶子反复进行分析化验，从未发现菠菜含铁量比别的蔬菜特别高的情况。于是他探索有关菠菜含铁量高的“神话”是从哪里来的。原来是近百年以前，印刷厂在排版时，把菠菜的含铁量的小数点向右错点了一位，从而使数据扩大了十倍。
前些时，美国芝加哥一个靠养老金生活的老太太，在医院施行一次小手术后回家。两星期后，她接到医院寄来的一张帐单，款数是63440美元。她看到偌大的数字，不禁大惊失色，骇得心脏病猝发，倒地身亡。后来，有人向医院一核对，原来是电脑把小数点的位置放错了，实际上只需要付634美元。点错一个小数点，竟要了一条老命。
1962年，美国发射了一艘飞往金星的“航行者一号”太空飞船。根据预测，飞船起飞44分钟后，9800个太阳能装置会自动开始工作，80天后电脑完成对航行的矫正工作；100天后，飞船就可以环绕金星航行，开始拍照，然而，出人意料的是，飞船起飞不到四分钟，就一头栽进大西洋里。
后来经过详细调查，发现在把资料输入电脑时，有一个数据前面的负号给漏掉了，这样，原来的负数变成了正数，使整个飞船的计划就失败了。一个小小的负号，使美国航天局白白耗费了一千万美元、大量的人力和时间。
牛顿曾经说过：“在数学中，最微小的误差也不能忽略。”我们平时学习数学，就应该有这种谨慎细心，一丝不苟的态度，严格要求自己，今后参加工作才能有对人民、对事业高度负责的精神。
巧量对角线
初二年级的智力竞赛正在紧张地进行。只见主持人拎出一只铁皮箱子放到桌面上。“同学们，我这儿有一只长方体形状的箱子，还有一把卷尺，你能不能量出对角线AC的长度？”
小华立即举手抢答：“那不简单，把箱子打开，用卷尺量一量AC′多长就得了！”
主持人：“不行啊，你不见箱子上了锁，打不开呀！”
沉默了片刻。
小文举起了手：“量一量A′C′的长，再量一量AA′的长。因为角钱AC′的长了！”
主持人：“回答正确。我再提一个问题，如果不允许计算，只能量一次，能得到AC′的长度吗？”
怎么办呀？台下许多同学小声议论起来。这时候只见主持人轻轻地推了一下箱子。
有了！小明立刻要求作答：“先把箱子对准桌子的两条直角边，记下靠左面的一条底边的位置。再将箱子往左挪，正好挪过一个箱子的宽度，从桌子顶角M量到箱子挪好以后的端点N上，这个量得的长度即为箱子对角线的长度。”
全场一片掌声！
主持人：漂亮极了。同学们在学习平面几何的时候为了证题，不是常常添置辅助线吗？刚刚解这个问题时移动了箱子，可以理解为添加了一个辅助长方体，是把平面几何的方法类推到空间来，这个方法今后学习立体几何时就会派上用场。
小欧拉智改羊圈
欧拉是数学史上着名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校除了名的小学生。
事情是因为星星而引起的。当时，小欧拉在一个教会学校里读书。有一次，他向老师提问，天上有多少颗星星。老师是个神学的信徒，他不知道天上究竟有多少颗星，圣经上也没有回答过。
其实，天上的星星数不清，是无限的。我们的肉眼可见的星星也有几千颗。这个老师不懂装懂，回答欧拉说：“天上有多少颗星星，这无关紧要，只要知道天上的星星是上帝镶嵌上去的就够了。”
欧拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上没有扶梯，上帝是怎么把星星一颗一颗镶嵌到一在幕上的呢？上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕，他为什么忘记了星星的数目呢？上帝会不会太粗心了呢？”
他向老师提出了心中的疑问，老师又一次被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好。老师的心中顿时升起一股怒气，这不仅是因为一个才上学的孩子向老师问出了这样的问题，使老师下不了台，更主要的是，老师把上帝看得高于一切。
小欧拉居然责怪上帝为什么没有记住星星的数目，言外之意是对万能的上帝提出了怀疑。在老师的心目中，这可是个严重的问题。
在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思考。小欧拉没有与教会、与上帝“保持一致”，老师就让他离开学校回家。
但是，在小欧拉心中，上帝神圣的光环消失了。他想，上帝是个窝囊废，他怎么连天上的星星也记不住？他又想，上帝是个独裁者，连提出问题都成了罪。他又想，上帝也许是个别人编造出来的家伙，根本就不存在。
回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童。他一面放羊，一面读书。他读的书中，有不少数学书。
爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米（15+15+40+40=110）父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。
小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说，只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。
父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情？”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美。父亲终于同意让儿子试试看。
小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米。父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了。”
父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光。面积也足够了，而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常高兴。孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息。
父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是及可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生。
数学神童维纳的年龄
20世纪着名数学家诺伯特·维纳，从小就智力超常，三岁时就能读写，十四岁时就大学毕业了。几年后，他又通过了博士论文答辩，成为美国哈佛大学的科学博士。
在博士学位的授予仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄。维纳不愧为数学神童，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。”
维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他的这道妙题深深地吸引住了。整个会场上的人，都在议论他的年龄问题。
其实这个问题不难解答，但是需要一点数字“灵感”。不难发现，21的立方是四位数，而22的立方已经是五位数了，所以维纳的年龄最多是21岁；同样道理，18的四次方是六位数，而17的四次方则是五位数了，所以维纳的年龄至少是18岁。这样，维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个。
剩下的工作就是“一一筛选”了。20的立方是8000，有3个重复数字0，不合题意。同理，19的四次方等于130321，21的四次方等于194481，都不合题意。最后只剩下一个18，是不是正确答案呢？验算一下，18的立方等于5832，四次方等于104976，恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字，多么完美的组合！
这个年仅18岁的少年博士，后来果然成就了一番大事业：他成为信息论的前驱和控制论的奠基人。
没有来的举手
从前，山东省有个大军阀，在一次会议开始时想点点名，了解一下那些人来，那些人没来。可是，到会的人数比较多，点名很费事，于是这个不学无术的军阀就想了一个“办法”，他大声地叫道：
“没有来的人举手！”
他认为没有来的人总是少数，只要知道哪些人没来，来的人无需一一点名就明白了。到会的人面面相觑，都感到莫明其妙。
在数学中，集合是一个重要的基本概念。今天会议应到的人就构成一个集合。其中实到的人是应到的人的一部分。我们就把应到的人叫做“全集”，实到的人叫做它的“子集”。
未到的人也是应到的人的一部分，所以它也是一个子集。实到的人这个子集与未到的人这个子集正好是应到的人这个全集，我们把这两个子集叫做互补的集合。这个军阀为了了解“实到的人”这个子集，转而去了解这个子集的补集——未到的人的集合。这个方法是不错的。不过由于他脱离了实际，结果闹了个大笑话。
“补集”的思想在我们生活中是常用的。现在是什么时间了？3点差2分。这里不说2点58分，因为3点差2分比较简单明了。我们在电视和小说中也常看到，公安人员侦破案子时，总是逐一地把确证为不可能做案的嫌疑者排除掉，从而缩小嫌疑对象的范围，这里也用到补集的思想。
在小学，学习心算和速算时，补数的用途很多。进位的加法的口诀是“进一减补”，退位减法的口诀是“退一加补”。乘法速算用到补数的地方也不少。
9加1得10，9和1可以看成是互补的。仿此，97和3，999和1也是互补的。倒数关系以及初中学的相反数关系，也都可以理解为一种互补的关系。
在几何里，补角和余角，都是互补思想的运用。不过以直角为全集时，两个角的关系不叫互补，而叫互余罢了。
蜜蜂的“语言”
语言和文字是人类交流思想的工具。聋哑人无法说话，只有用“手语”来代替。动物没有语言和文字，也只有用姿势和叫声来表达自己的感情。
蜜蜂是一种群居的昆虫，它有共同利用蜜源的习性。在探蜜和采蜜的过程中，需要传递信息。在千万年的实践中，蜜蜂创造了自己的“语言”。
蜜蜂在采集蜂蜜前，先得派出少数“侦察兵”去寻找开花泌蜜的植物群。当“侦察兵”发现花丛后，它得向群蜂表明花丛在何方？距离蜂巢有多远？不了解这些信息，群蜂是无法去采集的。于是，“侦察兵”们就以“舞蹈”的动作来表示食物所在的地方和距离，并引导蜂群前去采集。
在中学所学的坐标系中，除了直角坐标系以外，还有一种极坐标系。那就是先在平面上确定一条射线OX，这条线叫做极轴。如果平面上一点P与O点连线OP与极轴ox的夹角为α，且P点到O点的距离为ρ，那么我们就用（ρ，α）来表示P点的极坐标。这就告诉我们，只要知道某一个角度和距离，就可以确定某一点的位置。蜜蜂本能地运用极坐标的原理，通过舞蹈的动作，巧妙地表达出花丛与蜂巢的距离和方位。
蜜蜂跳的一种“8字形舞”不仅表示距离，而且还指明方向。在一定时间内“8字形舞”的圈数和腹部摆动的次数，就表示蜂巢到花丛的距离。如果以15秒钟作为计时单位，花丛距蜂巢越远，蜜蜂舞蹈的圆圈数就越少，直线爬行的时间就比较长，腹部摆动的次数就比较多。下表是在15秒钟内蜜蜂舞蹈的圈数和腹部摆动的次数以及蜂巢与花丛的距离表：
只知道距离是不够的蜜蜂在舞蹈时还利用太阳的角度来指示方向。“太阳角”就是以蜂巢为角的顶点，它相当于极坐标中的O点；向太阳方向的射线相当于极轴ox；向花丛方向的射线相当于OP。这时太阳方向与花丛方向就构成一个角（相当于a），这个角就标志着花丛的方向。
如果蜜蜂在舞蹈时，头朝上，从下往上跑直线，这就是说要向着太阳这个方向飞才能找到花丛，按照上述传递信息的方法，蜜蜂就可以根据指定的方向和距离，顺利地找到花丛。
花砖铺设问题
随着人们生活水平的提高，许多人喜欢用装饰用的花砖来铺设地面，这在数学里是一门学问，叫做平面花砖铺设问题，也叫做镶嵌图案问题，即采用单一闭合图形拼合在一起来覆盖一个平面，而图形间没有空隙，也没有重叠。什么样的图形能够满足这样的条件？
我们先来研究正多边形。先看看正方形，这是大家熟悉的图形。很明显，正方形是可以覆盖一个平面的。
再来看看正三角形，正三角形也是可以覆盖一个平面的。
正六边形也是可以覆盖一个平面，这不仅早在古希腊时就为人们所确认，而且昆虫中的蜜蜂就是用正六边形来建造蜂巢的。
为什么正方形、正三角形、正六边形能够覆盖一个平面？因为过每一个正方形公共顶点的正方形有四个，每个正方形的每个内角为90°。
4个90°正好是360°。过每一个正三角形顶点可安排六个正三角形，每个内角60°，共为360°。同样，过每个正六边形顶点有三个正六边形，每个内角为120°，三个内角正好为360°，由此可知，要使正多边形能覆盖平面，必须要求这个正多边形的内角度数能整除360°。
正五边形的每一个内角为108°，108°不能整除360°，所以正五边形不能覆盖平面，不难看出，超出六边的正多边形的每一个内角大于120°，小于180°，都不能整除360°，因此，都不可能覆盖平面。这样看来，能覆盖平面的正多边形只有正方形、正三角形、正六边形三种。
现在，我们来看看不规则的多边形能不能覆盖平面。事实上，任何不规则的三角形和四边形都可以覆盖一个平面。
