人们从认识分数到研究分数，是从单位分数开始的。单位分数就是形如1n(n1的正整数)的分数。在3700多年前埃及的纸草书上，已经认识到：所有分子为2、分母为2n+1(n为2到49的正整数)的分数，可以分解为一些不相同的单位之和。如：
27=14+128
297=156+1679+1776
而通过这种表示法可以进行任何分数运算：如：
521=121+221+221
=121+114+142+114+142
=121+214+242
=121+17+121
=17+221=17+114+142
巴比伦人也使用六十进位的分数，即分母是60、602、603的分数。在很长一段时间内，欧洲人将分数运算视为畏途。
中国是世界上较早对一般分数进行研究的国家。公元前5世纪的《考工记》中，就有“十分之寸之一为一枚”的记载，即110寸等于一分。西汉时期《周髀算经》中，已经有了更复杂的分数运算。公元1世纪（东汉时期）的数学家专着《九章算术》中，专列“方田”一章，介绍通分、约分、比较分数大小的方法，以及有关加、减、乘、除运算的法则。这些知识与现代采用的方法基本相同，比印度领先500多年，比欧洲早1400多年。
负数的引入
今天人们都能用正负数来表示相反方向的两种量。例如若以海平面为0点，世界上最高的珠穆朗玛峰的高度为十8848米，世界上最深的马里亚纳海沟深为-11034米。在日常生活中，则用“十”表示收人，“-”表示支出。可是在历史上，负数的引人却经历了漫长而曲折的道路。
古代人在实践活动中遇到了一些问题：如相互间借用东西，对借出方和惜人方来说，同一样的东西具有不同的意义。分配物品时，有时暂时不够，就要欠某个成员一定数量。再如从一个地方，两个骑者同时向相反的方向奔驰，离开出发点的距离即使相同，但两者又有不同的意义。久而久之，占代人意识到仅用数量来表示一事物是是不全面的，似乎还应加上表示方向的符号。为了表示具有相反方向的量和解决被减数小于减数等问题，逐渐产生了负数。
中国是世界上最早认识和应用负数的国家。早在二千年前的《九章算术》中，就有了以卖出粮食的数目为正（可收钱），买入粮食的数目为负（要付钱）；以入仓为正、出仓为负的思想。这些思想，西方要迟于中国八九百年才出现。
无理数的风波
无理数就是不能表示为整数或两整数之比的实数，如2、π等等。这些数不像自然数或负数那样，可在实际生活中直接碰到，它是在数学计算中间接发现的。
人们发现的第一个无理数是2。据说，它的发现还曾掀起一场巨大的风波。古希腊毕达哥拉斯学派是一个研究数学、科学、哲学的团体，他们认为一切数都是整数或者整数之比。有一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（如果1：x=x：2那么x为1和2的比例中项），左思右想都想不出这个中项值。后来，他画一边长为1的正方形，设对角线为x，于是x2=12+12=2。他想，x代表正方形对角线长，而x2=2。他想，那么x必定不能是整数，那么x会不会是分数呢？毕达哥拉斯和他的学生们绞尽脑汁也找不到这个数。
这样，如果x既不是整数又不是分数，它是什么样的数呢？希帕索斯等人认为这必定是一个新数。这一发现，使得毕达哥拉斯等学派的观点动摇了，从而导致了西方数学史上的第一次“数学危机”。而希帕索斯本人因违背了毕达哥拉斯学派的观点而受到处罚，被扔到大海里淹死了。
无理数的发现，使数的概念又扩大了一步。
神秘的9
爱因斯坦出生在1879年3月14日。把这些数字连在一起，就成了1879314。重新排列这些数字，任意构成一个不同的数（例如3714819），在这两个数中，用大的减去小的（在这个例子中就是3714819－1879314=1835505），得到一个差数。把差数的各个数字加起来，如果是二位数，就再把它的两个数字加起来，最后的结果是9（即1+8+3+5+5+0+5=27，2+7=9）。
哥白尼的生日是1473年2月19日，牛顿的生日是1642年12月25日，高斯出生于1777年4月30日，居里夫人出生于1867年11月7日，只要按照上面的方法去计算，最后一定都得到9。实际上，把任何人的生日写出来，做同样的计算，最后得到的都是9。
把一个大数的各位数字相加得到一个和；再把这个和的各位数字相加又得到一个和；这样继续下去，直到最后的数字之和是个一位数为止。最后这个数称为最初的那个数的“数字根”。这个数字根等于原数除以9的余数。这个计算过程，常常称为“弃九法”。
求一个数的数字根，最快的方法是在加原数的数字时把9舍去。例如求385916的数字根，其中有9，而且3+6，8+1都是9，就可以舍去，最后只剩下5，就是原数的数字根。
利用弃九法，可以检验很大数目的加减乘除的结果。例如a-b=c，为了检验结果c，用a的数字根减去b的数字根（如果前者较小就加上9），看看差数是否对得上c的数字根。如果对不上，那么前面的结果肯定是算错了；如果对上了，那么计算正确的可能性是89。
由这些知识可以解释生日算法的奥秘。假定一个数n由很多数字组成，把n的各个数字打乱重排，就得到一个新的数n′，显然n和n′有相同的数字根，把两个数根相减就会得0。也就是说，n－n′一定是9的倍数，它的数字根是0或9。而在我们的算法中0和9本是一回事（即一个数除以9所得的余数）。n－n′=0，只有在n=n′即原数实际上没有改变时才发生；只要nn′，n－n′累次求数字所得的结果就一定是9。
稀少而有趣的完美数
已知自然数a和b，如果b能够整除a就是说b是a的一个因数，也称为约数。显然，任何自然数a，总有因数1和a。我们把小于a的因数叫做a的真因数。
例如：6，12，14这三个数的所有真因数：
6：1，2，3；1+2+3=6
12：1，2，3，4，6；1+2+3+4+6=1612
14：1，2，7；1+2+7=1014
像12这样小于它的真因数之和的叫做亏数（不足数）；大于真因数之和的（如14）叫做盈数或过剩数；恰好相等的（如6）叫做完全数，也称为完美数。
古希腊人非常重视完全数。大约在公元100年，尼可马修斯写了第一本专门研究数论的书《算术入门》，其中写道：“也许是这样：正如美的、卓绝的东西是罕见的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；所有盈数和亏数非常之多，而且紊乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数，而且又顺理成章……它们具有一致的特性：尾数是6或8，而且永远是偶数。”
现在数学家已发现，完全数非常稀少，至今人们只发现29个，而且都是偶完全数。前5个分别是：6，28，496，8128，33550336。
经过不少科学家的研究，现在已经发现，假如数2n－1，是素数，那么数2n－1·（2n－1）就一定是完全数，其中的n也同样是素数。为此，数学家就用英文Prime（素数）的第一个字母p代替n，还把形如2p－1的素数叫“默森尼数”。但是，对于下面两个问题：“偶完全数的个数是不是有限的？”“有没有完全数？”数学家到现在还没有解决。
完全数有许多有趣的性质，例如：
1.它们都能写成连续自然数之和：
6=1+2+3，28=1+2+3+4+5+6+7，496=1+2+3+4+……+31，8128=1+2+3+4+……+127；
2.它们的全部因数的倒数之和都是2。
11+12+13+16=2
11+12+14+17+114+128=2
11+12+14+18+116+131+162+1124+1248+1496=2
亲和的友好数
友好数又叫亲和数，它指的是这样的两个自然数，其中每个数的真因数之和等于另一个数。
毕达哥拉斯是公元前6世纪的古希腊数学家。据说曾有人问他：“朋友是什么？”他回答：“这是第二个我。正如220和284”为什么他把朋友比喻成了两个数呢？原来220的真因数是1，2，4，5，10，11，20，22，44，55和110，加起来得284；而284的真因数是1，2，4，71，142，也起来也恰好是220。284和220就是友好数。它们是人类最早发现的又是所有友好数中最小的一对。
第二对友好数（17296，18416），是在二千多年后的1636年才发现的。之后，人类不断发现新的友好数。1747年，欧拉已经知道30对，1750年又增加到60对。到现在科学家已经发现了900对以上这样的友好数。令人惊讶的是，第二对最小的友好数（1184，1210）直到19世纪后期才被一个16岁的意大利男孩发现的。
人们还研究了友好数链；这是一个连串自然数，其中每个数的真因数之和都等于一个数，最后一个数的真因数之和等于第一个数。如：12496，14288，15472，14536，14264。有一个这样的链镜包含了28个数。
悬而未决的费马数
伟大的科学家同样也会犯错误，科学史上这样的事件屡见不鲜。被举为“近代数论之父”、“业余数学家之王”的17世纪法国数学家费马就是其中一个，而且他所犯的错误又恰恰是在他最擅长的数论之中。
1640年，费马发现：设Fn=22n+1，则当n=0，1，2，3，4时，Fn分别给出3，5，17，257，65537，都是素数。这种素数被称为“费马数”。由于F5太大（F5=4294967297）他没有再进行验证就直接猜测：对于一切自然数n，Fn都是素数。不幸的是，他猜错了。1732年欧拉发现：F5=225+1=4294967297=614×6700417，偏偏是一个合数！1880年，又有人发现F6=226+1=27477×67280421310721，也是合数。
不仅如此，以后陆续发现F7，F8……直到F19以及许多n值很大的Fn全都是合数！虽然Fn的值随着n值的增加，以极快的速度变大（例如1980年求出F8=1238926361552897×一个62位数），目前能判断它是素数还是合数的也只有几十个，但人们惊奇地发现：除费马当年给出的5个外，至今尚未发现新的素数。这一结果使人们反过来猜测：是否只有有限个费马数？是否除费马给出的5个素数外，再也没有了？可惜的是，这个问题至今还悬而未决，成了数学中的一个谜。
欧拉首先使用的符号i
在实数范围内，方程x2+1=0是无解的，因为任何实数，不论是正数、零还是负数，它的平方都是正数，或是零，不可能找到平方等于－1的数。
为了使这个方程有解，科学家引入了一个新的单位数i，规定它有性质i2=－1，这样的性质是任何实数都没有的。根据这性质知道它有i=±－1，这与在实数范围内负数不能开平方的结论不同，人们把－1记作i称为虚数单位，由于虚数单位i和一个实数合起来组成的数，称为虚数，如6i，10i。
符号i是数学家欧拉于1777年在他的论文中首先使用的。后来德国数学家高斯系统地运用它，并给出了有关虚数的运算法则，以后逐渐被普遍采用。有了i这个虚数单位，人们就将数从实数扩充到复数。复数的形式为a+bi，其中a、b为料数若a=0，b0，则称bi为纯虚数；若a0，b=0，那就是实数。因此可以把实数看成虚部为零的复数。
在复数范围内，人们规定了它的运算法则。设a1+b1i和a2+b2i是两个复数，有：
（a1+b1i）+（a2+b2i）=(a1+a2)+(b1+b2)i
（a1+b1i）－（a2+b2i）=(a1－a2)+(b1－b2)i
（a1+b1i）·（a2+b2i）=(a1a2－b1b2)+(a1a2+b1b2)i
a1+b1ia2+b2i=
(a1a2+b1b2)+(b1a2－a1b2)ia22+b22
例如：（25+2i）－（20－2i）
=(25－20)+（2－－2）i
=5+22
勾股数和费马大定理
如果一个直角三角形的两条直角边分别是a和b斜边是c，那么a2+b2=c2，这就是着名的“勾股定理”。如果a、b、c都是正整数，就说它们是一组勾股数。一般地说，勾股数就是不定方程x2+y2=z2(1)的正整数解。
在公元前1900-前1600年的一块巴比伦泥板中，记载了15组勾股数，包括（119，120，169），（3367，3456，4825），（12709，13500，18541）这样一些数值很大的勾股数，说明当时已经有了求勾股数的某种公式。
于是人们进一步设想：在（1）中，如果未知数的次数比2大，还有没有正整数解呢？
大约在1637年，费马认真地研究了这个问题，指出，他已经证明，一个立方数不可能表为两个立方数之和，一个四次方也不可能表为两个四次方之和。一般说来，指数大于2的任何幂不可能表为两个同样方幂之和。也就是说，当n＞2时，不定方程x2+y2=z2（2）没有正整数解。这就是通常人们所说的费马大定理，也叫费马最后定理。
后来，一直没有发现费马的证明。300多年来，大批数学家，其中包括欧拉、高斯、阿贝尔、柯西等许多最杰出的数学家都试图加以证明，但都没有成功，使这个大定理成了数学中最着名的未解决问题之一。现在一般认为，当初费马也并没有证出这条定理。
费马大定理也吸引了无数业余爱好者。当1908年德国哥廷根科学院宣布将发给第一个证明它的人10万马克奖金时，据说有些商人也加入了研究的行列。但由于费马大定理不可能有初等证明，因而那些连初等数论的基本内容都不熟悉的人，对此只能“望洋兴叹”了。这说明攻克世界难题，不仅需要勇气和毅力，还需要具备扎实的基础知识。
强盗的难题
强盗抢劫了一个商人，将他捆在树上准备杀掉。为了戏弄这个商人，强盗头子对他说：“你说我会不会杀掉你，如果说对了，我就放了你，决不反悔！如果说错了，我就杀掉你。”
聪明的商人仔细一想，便说：“你会杀掉我的。”于是强盗头子发呆了，“哎呀，我怎么办呢？如果我把你杀了，你就是说对了，那应该放你；如果我把你放了，你就说错了，应该杀掉才是。”强盗头子想不到自己被难住了，心想商人也很聪明，只好将他放了。
这是古希腊哲学家喜欢讲的一个故事。如果我们仔细想一想，就会明白那个商人是多么机智。他对强盗说：“你会杀掉我的。”这样，无论强盗怎么做，都必定与许诺相矛盾。
如果不是这样，假如他说：“你会放了我的。”这样强盗就可以说：“不！我会杀掉你的，你说错了，应该杀掉。”商人就难逃一死了。
下面这个例子也是有趣的。有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都能做得到。一位过路人问了一句话，使他顿时张口结舌。
这句话是：“上帝能创造一块他也举不起来的大石头吗？”请你想一想，这个教徒为什么会哑口无言？
部分也能等于整体吗？
