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第7章 1曹冲6岁称象(6)

但他并不悲观、气馁,而是顽强地发奋自学。有一次,他发现一个有名的教授的一篇论文中有错误,一个数值算得不对。于是他把自己的计算结果和看法写成文章,投寄给上海《科学》杂志社。1930年,这篇文章在《科学》杂志上发表,这时华罗庚年仅20岁。就是这篇论文,完全改变了华罗庚以后的生活道路。

当时正在清华大学担任数学系主任的熊庆来,看到了这篇论文后,大为赞赏,到处打听华罗庚是哪个大学的教授。大家都说不知道。

碰巧数学系有位教员知道华罗庚这个人。他告诉熊庆来,说华罗庚并不是什么大学教授,而只是一个自学青年。熊庆来爱才心切,并不在乎学历,当即托人邀请华罗庚来清华大学工作。

1931年,清华大学的工作人员拿着华罗庚寄来的照片,到北京前门火车站去接从浙江来的华罗庚。华罗庚,这位未来的大数学家,当时就是这样拖着残腿、拄着拐杖走进了清华园。起初,他在数学系当助理员,经管收发信函兼打字,并保管图书资料。

他一边工作,一边自学。熊庆来还让他经常跟学生一道去教室听课。勤奋好学的华罗庚只用了一年时间,就把大学数学系的全部课程学完了,学问大有长进。熊庆来对这位年轻人十分器重,有时碰到了复杂的计算也会大声喊道:“华罗庚,过来一下,帮我算算这道题!”两年后,华罗庚被破格提升为助教,继而升为讲师。后来,熊庆来又选送他去英国剑桥大学深造。1938年,华罗庚回国,任西南联大教授,当时他才28岁。

华罗庚后来成为世界着名的数学家,在很多领域都作出了卓越的贡献。他的名字被列为当今八十八个数学伟人之一。

41小数点的代价

1967年8月23日,前苏联着名宇航员弗拉迪米·科马洛夫一个人驾驶着“联盟一号”宇宙飞船在返回大气层时,突然发生了恶性事故,减速降落伞无法打开,科马洛夫无论怎么操作也无法减慢飞船的速度。地面指挥中心采取了一切可能的措施帮助排除故障,但都无济于事。请示中央,决定将实况向全国人民公布。电视台的播音员以沉重的语调宣布:“联盟一号飞船由于无法排除故障,不能减速,两小时后将在着陆基地附近坠毁。我们将目睹宇航英雄科马洛夫遇难。”

科观洛夫的亲人被请到地面指挥台,指挥中心的首长通知科马洛夫与亲人通话。科马洛夫控制着自己的激动:“首长,属于我的时间不多了我先把这次飞行的情况向您汇报……”

生命在一分一秒中消逝,科马洛夫目光泰然,态度从容,他整整汇报了几分钟。汇报完毕,国家领导人接过话筒宣布:“我代表最高苏维埃向你致以崇高的敬礼,你是苏联的英雄,人民的好儿子……”当问及科马洛夫有什么要求时,科马洛夫眼含热泪:“谢谢,谢谢最高苏维埃授予我这个光荣称号,我是一名宇航员,为祖国的宇航事业献身我无怨无悔!”

领导人把话筒递给科马洛夫的老母亲,母亲老泪纵横,心如刀绞,泣不成声。在电视上,观众看到了宇航员科马洛夫镇定自若的形象,他面带微笑地对母亲说:“妈妈,您的图像我在这里看得清清楚楚,包括您头上的每根白发,您能看清我吗?”

“能,能看清楚。儿啊,妈妈一切都很好,你放心吧!”她把话筒递给科马洛夫的妻子。科马洛夫给妻子送来一个调皮而又深情的飞吻。妻子拿着话筒只说了一句话:“亲爱的,我好想你!”就泪如雨下,再也说不出话来了。

科马洛夫12岁的女儿接过话筒,泣不成声。科马洛夫微笑着说:“女儿,你要坚强,不要哭。”“我不哭,爸爸,你是苏联的英雄,我是你的女儿,我一定会坚强地生活。”刚毅的科马洛夫不禁落泪了,科马洛夫叮嘱女儿说:“学习时,要认真对待每一个小数点。联盟一号今天发生的一切,就是因为地面检查时忽略了一个小数点……要记住这个日子,以后每年的这个日子要到坟前献一朵花,向爸爸汇报学习情况。”

时间一分一秒地过去,距离宇宙飞船坠毁只有7分钟了,科马洛夫向全国的电视观众挥挥手说:“同胞们,请允许我在这茫茫的太空中与你们告别。”永别的时刻到了——飞船坠地,电视图象消失。整个苏联一片肃静,人们纷纷走向街头,向着飞船坠毁的地方默默地哀悼。

这是一次惊心动魄的告别仪式。科马洛夫永远地走了,他留下了对亲人对祖国永恒的爱。但更震撼人心的是他对女儿说的那番话。它警示着人们:对待人生不能有丝毫的马虎,否则,即使是一个细枝末节,也会让你付出深重的甚至是永远无法弥补的代价。

42斐波拉契的兔子

从前,有一个穷光棍,平时只知好吃懒做,不肯踏踏实实做事情,还经常想入非非做发财梦。

一天,他在路边捡到一个鸡蛋,他非常高兴,捧着鸡蛋就在脑子里就盘算开了:“我借别人的母鸡把这个蛋孵成小鸡,等小鸡长大了,就可以生蛋,我再把生的蛋孵成鸡,这些鸡又可以生更多的蛋,蛋又可变成更多的鸡……过不了几年,我就可以把蛋和鸡去换许多钱,然后可以盖新房,还可以娶个漂亮媳妇,生儿育女……”

他越想越高兴,不禁得意忘形手舞足蹈,忽听“啪”的一声,鸡蛋掉在地上,碎了!懒汉看着摔碎了的鸡蛋,放声痛哭:“哎呀,我的宝贝!我的房子呀!”

上面这则笑话流传已久,对我们很有教育意义,然而恐怕谁都没有认真计算过:如果鸡蛋没有打碎,几年后这个懒汉究竟有多少只鸡,多少个蛋呢?

不过,公元1202年,一位意大利比萨的商人斐波拉契(约1170~1250年)在他的《算盘全书》(这里的“算盘”指的是计算用沙盘)中提出过一个“养兔问题”,却被无数人算过。这道题说的是:

某人买回一对小兔,一个月后小兔长成大兔。再过一个月,大兔生了一对小兔,以后,每对大兔每月都生一对小兔,小兔一个月后长成大兔。如此下去,问一年后此人共有多少对兔子?

你能算清吗?不少同学恐怕看完题就已经动手算了,而且很快就算出了答案。不过对不对可不敢保证。说实在的,这题要算对并不那么容易,这可要不慌不忙细心地算才行。

通常可以列一个表来算这个题:

填了几行后,你就可以总结出几条结论:

(1)每个月的大兔子数就是上个月的兔子总数。(因上个月的小兔这个月都长成大兔)(2)每个月的小兔子数就是上个月的大兔数。(因上月大兔子这个月都需生一对小兔,而上个月的小兔这个月长成大兔但不生兔子。)由(1)可知:每月小兔数就是前月的兔子总数。

(3)每月兔子总数是当月大、小兔子数的和。由(1)、(2)知每月兔子数就等于上月与前月这两个月兔子数的和。

若记第n个月的兔子数为fn,就有f0+f1=f2,f1+f2=f3,f2+f3=f4……一般的,有fn-2+fn-1=fn。有了这个规律,填这个表就很容易了。

你看,养一对兔子,一年之后就会发展壮大成了一个养兔场了。

按这个规律,可以把兔子数一直写下去:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610……这样得出的一列数就称为“斐波拉契数列。”

波兰数学家史坦因豪斯在其名着《数学万花筒》中提出一个问题:

一棵树一年后长出一条新枝,新枝隔一年后成为老枝,老枝又可每年长出一条新枝,如此下去,十年后新枝将有多少?

这恰好也可以得到“斐波那契数”。

人们从“斐”数出发得到了很多有益的和有趣的结果。比如“斐”数与黄金分割(0618)的关系,直到现在还在优选法和运输调度理论中起着基本原理的作用;又如种向日葵的农场主在葵花籽的分布规律上发现了“斐”数,乃至好多植物的花瓣叶序上发现的“斐”数奇观形成了至今未解的“叶序之迷”。可见一个“养兔问题”竟揭示了大自然的一个普遍存在的奥秘。

43香案

这年,雅典的好些地方流行伤寒症,瘟疫夺去了许多人的生命。劳动群众灾难深重之时,正是财主老爷发财致富之日。赫良辛想出了个馊主意,他把农奴们召集到广场的神庙前。

“阿婆罗神降旨啦!”赫良辛眨眨眼睛,挺挺胸脯,扯着嗓子喊了起来。原来,雅典人信神,这里讲的“阿婆罗神”是专管艺术的太阳神。

“庙里香案年久失修啦,神灵发怒了,才降灾给你们。神灵说,三天之内重做一个正方体形状的香案,神灵息怒后,瘟疫就可以平息了。”

人们似乎有了希望,聚精会神地听着。赫良辛咽了一口唾沫,接着说:

“这样吧!每家摊派一斗粮食,马上送到我家大院,作为重做香案和祈祷的基金……神命难违啊!”

于是,赫良辛家里粮屯里的粮食多了许多,“生死簿”上又增加了许多冤魂。可是,瘟疫并没有停止,相反,更加厉害了,不断夺去村民的生命。

不久,从赫良辛家里又传出神灵显圣的消息,通知人们第二天到庙前集中。

“啊,神灵又显圣了,这回不知道怎么说呢!”几位老人嘀嘀咕咕,忧心忡忡。

“什么神灵,全是赫良辛玩的鬼!”一个青年捏紧拳头,怒火填膺。

“不听他那一套,我们去找克莱梯斯去!”另一个青年冲口大喊。

克莱梯斯是一位学者,尤其对数学很有研究。这天晚上,几个青年在克莱梯斯家商量了很久,他们想了一个很巧妙的办法。

第二天,人们又在广场上集中了。

赫良辛走上高处,清清嗓子,尖声叫了起来:

“神灵又降旨啦,他嫌香案做得太小,要重做一个,这么办……”

赫良辛正要继续说下去,突然远处几个村民边跑边喊:

“来了,来了,钦差大臣来了,快迎驾呀!”

一个大臣骑着一匹高大的白马,后面跟着几个戎装卫士,很庄重地来到广场。不等大臣下马,赫良辛三步并作两步跑向前,跪在地上连连叩头:

“不知大人驾到,小民未曾远迎,死罪,死罪!”

“起来!”大臣斜视了赫良辛一眼,慢慢地走向庙前。

“这是干什么?”大臣指着农奴们,责问赫良辛。

“这个-那个-瘟疫-”赫良辛结结巴巴,心里有些发慌。

“大人,上回他骗了我们,说神灵发怒,要重做香案。让一家出一斗粮食,可瘟疫不见平息。”一个村民控诉着。

“今天他又说,神灵嫌香案太小,又发怒了,要……”另一个村民脸涨得通红,挥动着拳头。

“接圣旨!”大臣打断了他的话,所有的人都下跪了,尤其是赫良辛显得格外虔诚,他的前额紧紧地贴在地上。大臣说:

“赫良辛的话不错,神灵嫌做的香案太小,要做一个新的。”

村民们一个个抬起头来,疑惑不解地望着大臣。赫良辛也慢慢地挺起身子,除了额上粘的一点黄土外,面部似乎已逐渐恢复平静。

“不过,”大臣继续说着:“这次神灵指定要赫良辛做,香案的形状仍然是正方体,体积要是上次做的二倍。如果三天之内做好这个香案,瘟疫就可逐渐平息,国王将给赫良辛很贵重的奖赏。但是,如果所做的香案不符合要求,那就要处死赫良辛,并把他所有的财产分给农奴。”

赫良辛屏息细听了大臣传达的圣旨,心想这并不是难事,便领旨回家,立即找来木匠动工。起初,他以为只要按上次香案的尺寸,把正方体棱长扩大二倍,就可以了。那晓得木匠照他的意思做出来的正方体香案很大。我们不妨替他算一下:

如果上次正方体的棱长为a,那么体积应该是a3。这次正方体的棱长为2a,体积就应该是:

(2a)3=8a3。

这就是说,新做的香案体积是上次做的8倍,当然不符合要求。赫良辛连忙命令木匠把这个香案改小。但改来改去,不是偏大,就是嫌小。一天,两天过去了,庄园里的树木被砍去了许多。赫良辛对盘剥村民虽然是专家,但对数学却是一窍不通。他不会运用数学原理,先算出欲求的正方体的棱长,然后再按这个尺寸来做香案。

三天过去了,人们又集中在广场庙前。大臣又来了,赫良辛抬不出一个适合要求的香案。他预感到末日的来临,象一只癞皮狗,瘫倒在地上……聪明机智的克莱梯斯应用数学史上着名的三大几何问题之一“倍积立方问题”,帮助农奴们惩罚了罪行累累的恶人。

所谓“倍积立方问题”,就是要做一个正方体,使它的体积是已知正方体体积的二倍。这个问题对于我们今天初中同学来讲,是不难理解的。设原来正方体棱长为a,所求正方体棱长为x,依题意得:

x3=2a3。

所求正方体的棱长。即使后来人们开始认识它的时候,还把它叫做“无理”数哩!

44他像被神附了体一样

杂草丝中,一座古坟,墓碑已经风化,字迹模糊不清。然而一个奇怪的标帜却隐约地映入人们的眼帘:碑顶部刻着一个等边圆柱以及它内切球的图形。了解数学史的人很快就会知道,这里长眠着古代最伟大的数学家阿基米德,已经有二千多年了。

阿基米德(公元前287-前212年)在数学上的成就很多,其中他最感兴趣的是关于球体积公式的推导,他为了找到球体积的计算方法,先用一个空心的等边圆柱(就是圆柱底面圆的直径正好等于圆柱的高)的容器,里面装满了水。然后把一个直径等于这个圆柱高的球轻轻放进容器,再小心地把溢出的水收集起来,量出水的体积就是球的体积。他经过多次这样的实验,发现球的体积正好等于圆柱容。假设圆柱底面半径为R,我们不难用公式来验算这个结论。圆柱的体积为V圆柱=πR2·2R=2πR3而V球=πR3阿基米德非常重视这个发现,嘱咐别人在他死后,能在他墓碑上刻上这个图形。这就是上面所提到的古坟墓碑上所刻的图案。

阿基米德研究数学时聚精会神,可以说是废寝忘食。冬天吃饭时,他常坐在火盆旁,一手端着饭碗,一手在火盆的灰烬里画着几何图形,都忘了吃饭。

有一回,因为一个数学问题没解决,他埋头钻研,一直没空去洗澡,身上很脏,发出一股难闻的气味。家里人硬把他推进浴室。那时候的人有个习惯,洗完澡后要在身上擦香油膏。阿基米德在浴室里洗了好半天都不见出来,家里人感到很奇怪,在门外喊他也不见回音,便推门进去一看,原来他正坐在浴盆旁的凳子上,用手蘸着香油膏在皮肤上划几何图形哩!他研究几何图形时,脸上总是笑呵呵的,嘴里还叽里咕噜,家里人说他像被神附了体一样。

阿基米德为人谦逊,对待科学严肃慎重,他曾说过,他的一切发现别人都会发现,他毫不隐讳自己作品中的错误。他在自己所写的《螺线论》这篇文章中,坦率地承认自己在以前的着作中所犯的某些错误,让读者从中吸取教训。人们非常赞赏他这种高尚的品德。恩格斯夸奖他是对科学作了“精确而有系统研究”的代表人物之一。一位俄国数学家还在着作中写下了赞美他的诗句:

“这儿阿基米德出现了,那古代的哲学家,谁也不能和他相比拟,他的功绩全世界第一。”

45数学家巧破杀人案

伽罗华(公元1811-1832年)是法国数学家,十九世纪杰出的数学天才。他生于法国巴黎近郊布伦的一个小村子里,因决斗而卒于巴黎。

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