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第5章 分形——自然界的几何

欧几里得的《几何原本》自公元前3世纪诞生以来直到18世纪末,在几何学领域一直是一统天下,被人们奉为圭臬与经典,但它研究的仅仅是用圆规与直尺画出的直线、圆、正方体等规则的几何形体。这类形体是光滑的,具有特征长度的,在自然界确实也有非常多的欧几里得几何对象的例子。然而在我们生存的空间,还大量存在着另一类不规则的结构与现象:云彩不是球体,山脉不是圆锥,海岸也不是折线……这些不规则图形是不能用传统的欧氏几何来准确描述的。那么对于这些看似无规律的图形和现象,我们用什么数学工具来进行描述呢科学家经过研究发现,用几何分形可以描述蕨类植物或者雪花等对象,而随机分形则可由计算机生成,用来描述熔岩流和山脉。有了分形,我们的几何学就能描述不断变化的宇宙了。那什么是分形呢分形(fractal)是曼德尔布罗特由拉丁语形容词“fractus”创造出来的一个新词,至今尚无一个科学的定义。一般来说,分形是具有如下性质的集合:

.具有精细结构,即在任意小的比例尺度内包含着整体。

.不规则,不能用传统的几何语言来描述。

.通常具有某种自相似性,或许是近似的或许是统计意义上的。

.在某种方式下定义的“分维数”通常大于其拓扑维数。

.定义常常是非常简单的,或许是递归的。

我们注意到,不论是自然界中的个体分形形态,还是数学方法产生的分形图案,都有无穷嵌套、细分再细分的自相似的几何结构。换言之,谈到分形,我们事实上是开始了一个动态过程。从这个意义上说,分形反映了结构的进化和生长过程。它刻画的不仅仅是静止不变的形态,更重要的是进化的动力学机制。生长中的植物,不断生长出新枝、新根。同样,山脉的几何学形状是以往造山运动、侵蚀等过程自然形成的,现在和今后还会不断变化。

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