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第7章 中国古代科技史(6)

据《隋书·律历志》记载,祖冲之确定了圆周率的不足近似值是3.1415926,过剩近似值是3.1415927,真值在这两个近似值之间。通过现代计算验证,如果按照割圆术计算,要得到3.1415926到3.1415927,必须求出圆内接12288边形的边长和24576边形的面积。这样求出的圆周率才能准确到小数点后7位。我国古代是用算筹计算的,因此,对9位数做上百次加、减、乘、除和开方运算,还要适当选择有效数字,保证准确的误差范围,这是一项非常艰巨复杂的计算工作,显然只有掌握纯熟的理论和技巧,具备踏踏实实、一丝不荀的研究精神,才能取得这样杰出的成就。祖冲之圆周率的不足近似值和过剩近似值,准确到小数点后7位,成为世界历史上第一次把圆周率的准确数值算到小数点后7位数字的人。用这两个近似值计算,可以满足一定精度的要求,并且非常简便,这在当时世界上非常先进,标志着我国古代高度发达的数学水平,在世界数学史上放射着异彩。直到1000年以后,1427年阿拉伯数学家阿尔·卡西在《算术之钥》、法国数学家维叶特于1540年至1603年才求出更精确的数值。

按照当时计算都用分数的习惯,祖冲之还采用了两个分数值的圆周率。一个是355/113,这一个数比较精密,所以祖冲之称它为“密率”。另一个是22/7,这一个数比较粗疏,所以祖冲之称它为“约率”。其中密率是分子分母在1000以内的最佳值。在欧洲,直到1573年德国数学家鄂图和荷兰人安托尼兹才得出同样结果。因此,日本数学家三上义夫曾建议把355/113这个圆周率数值称为“祖率”,来纪念这位中国的大数学家。

祖冲之的这一研究成果享有世界声誉:巴黎“发现宫”科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率,莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像,月球上有以祖冲之命名的环形山……

增乘开方法的创立

我国是世界数学史上最早提出开平方、开立方的法则的国家。早在中国古代数学著作《九章算术》中的《少广》章里就讲述了开平方与开立方的法则,这个法则对解方程起了重要作用。因此,在世界数学史上占有重要的地位。

公元5世纪,南北朝时期祖冲之进一步推广了开平方、开立方的方法,能求出一般的二次方程式和三次方程式的正根。到隋唐时代,在数学著作中,则有开差幂(由长宽不等的长方形面积求其长宽)、开差立(由长宽高不等的立方体的体积求其长宽高)的问题。1050年左右,北宋数学家贾宪在他编著的《九章算法细算》中创造了开任意高次幂的“增乘开方法”。其做法与现代教科书中所用的步骤相同,用所拟定的根数,边乘边加,变换原方程式的系数。增乘开方法对以后求高次方程式正根,有很大影响。如1247年秦九韶的《数书九章》、1248年李冶的(测圆海镜》等著作中都用了增乘开方法。

在欧洲许多数学家用了种种方法求三项与高次方程式的实根,都比较复杂和不切实际。直到1840年意大利人罗斐尼和1819年英国人霍纳等才找到了与中国增乘开方法大致相同的算法,但是他们都比贾宪晚了800多年,而比祖冲之则晚了1300多年。

联立方程式的提出

我国是世界上最早提出联立方程式的国家。联立方程式在初等代数中是比较重要的一种数学方法。它可表示多种事物之间的复杂关系,在生产、科研工作中,特别是在建筑、设计和电路分析中有广泛的应用。

在方程式中,如果含有一个以上的未知数时,必须有一个以上的方程式,有几个未知数就要有几个方程式,只有这样,方程式中的各个未知数才有确定的数值解,这些方程式联合起来组成一组,叫做联立方程式。联立方程式是我国最早提出来的。

早在公元2世纪,我国在《九章算术》这部代数书中,就专门介绍了联立方程式。书中所列“方程”,未知数不用符号表示,只用算筹自上而下罗列各项系数,常数项列于最下,完成1行,二元者,列2行,三元者,列3行,算筹排列方式,形如方阵,故称“方程”。书中介绍的“方程”解法,与现在初中教科书中的加减消元法相仿。这是世界上最早出现的,也是最原始的联立方程式了。

13世纪时,我国数学家又发明了天元术(即中国代数),用“天”、“地”两字表示不同的未知数,能解二元高次联立方程式,1303年元朝数学家朱世杰撰写的《四元玉鉴》,按天、地、人、物立成四元,进一步推广到4个未知数的高次联立方程式,他的逐步消元法,条理分明,有新的发展。

印度在5世纪以后才解出了一次联立方程式,西方到16世纪才有了一次联立方程式的数学书,都比我国晚几个世纪。

二顶式系数法则的创立

现代初等数学中,二项式乘方展开是一种最基本的运算方法。二项式展开项系数,具有一定规律性,它是以组合数公式表示的,因此,在做二项式乘方展开时,只要记住这个规律,就可把各项直接求出来。

我国是二项式乘方展开项系数规律性的最先发现国,这在世界数学历史上是一个重大的贡献。早在11世纪,我国北宋时期的数学家贾宪,在他注解的《九章算术》中总结了先秦到东汉初的数学成就,除对其他数学问题做了专门研究外,还对乘方展开方法进行了专门的研究和探讨,提出的“开方作法本源图”是一个指数是正整数的二项式定理系数表,比欧洲人所称的“巴斯卡三角”早600多年,该表被称为“贾宪三角”。

多元高次方程解的提出

1303年,元朝著名的数学家朱世杰著《四元玉鉴》,他把“天元术”推广为“四元术”(四元高次联立方程),并提出消元的解法,是世界上第一个提出多元高次方程解法的人。400多年后,到公元1775年法国人毕朱才提出同样的解法。1299年朱世杰还著有《算学自蒙》三卷,对于多元高次方程组的解法、高阶等差级数、招差术(有限差分)都有独到的研究,对“果深叠藏”中的三角台垛、四角台垛、刍童垛、刍甍垛等提出了算法。

大衍求一术

宋朝数学家秦九韶的求解一次同余式的“大衍求一术”,是数学史上的一项卓越成就。联立一次同余式问题最早见于《孙子算经》中的一个问题:“今有数不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”这就是著名的孙子问题。他的解法要用到求三个一次同余式的共同解。秦九韶在《数书九章》中首次对这一算法进行介绍,并把它推广到解决各种数学问题中去。他系统地提出求解一次同余组的一般计算步骤,正确而又严密。过了500年后,欧洲的尤拉(1707~1789年)和高斯(1777~1855年)等人对联立一次同余式问题才进行了深人的研究。

最早发明算盘

算盘是我国古代的一项伟大发明。我国的算盘是由古代的“算筹”演变而来的。“算筹”就是运用一种竹签作筹码来进行运算。唐代末年,开始见到算筹乘除法的改进,到宋代生产了算筹的除法歌诀。在元代中叶和元末的文学、戏剧作品中有提到算盘的。珠算术至迟在元末已经产生,1366年陶宗义所著的《南村辍耕录》中,已有关于珠算盘的明确记载。到16世纪明代中叶珠算术取代算筹术在全国得到普遍推广,论述算术的著作也随之产生,流行最广的珠算是1593年明代程大位所辑的《算法统宗》。由于珠算术用算盘演算,比筹算术用算筹演算简单方便,珠算口诀又便于记忆,因而在我国被普遍应用,同时也陆续传到了日本、朝鲜、印度、美国、东南亚等国家和地区,受到广泛欢迎。近来,美国和日本一些专家把我国的算盘尊称为新文化,并和指南针、造纸术、印刷术、火药并列,被誉为我国的第五大发明。

地学

《山海经》

《山海经》是中国先秦古籍,主要记述古代地理、物产、神话、巫术、宗教等,也包括古史、医药、民俗、民族等方面的内容,具有多方面的学术价值。《山海经》是一部早期有价值的地理著作,其中尤以《五藏山经》(简称《山经》)地理价值最高,成书也最早,约成书于公元前300年,是我国最早的地质、地理著作。

《山经》记载的山川比早些时代的《禹贡》更丰富,其记载山岳共15000字,其篇幅之长,相当《禹贡》导山部分的14倍。《山经》以山为纲,对黄河流域、长江中下游、珠江三角洲广大地区复杂的地理现象进行了综合描述。它以位于今河南省西部的中山经为中心,自此以南为南山经,以西为西山经,以北为北山经,以东为东山经,从而分为5个地区。每个地区均以山为纲,排列先后次序,在叙述每列山岳时还记述山的位置、高度、走向、陡峭程度、形状、谷穴及其面积大小,并注意两山之间的相互关联,有的还涉及植被覆盖密度、雨雪情况等,显然已具备了山脉的初步概念,堪称我国最早的山岳地理书。在叙述河流时,必定叙述河流的发源与流向,还注意到河流的支流或流进支流的水系,包括某些水流的伏流和潜流的情况以及盐池、湖泊、井泉的记载。

《山经》在物质资源分布的篇幅中,对于矿产的记载尤其详细,提及矿物产地400余处,所记矿物岩石达89种,并把它们分成金、玉、石、土4类,这是世界上最早的矿物分类法。希腊学者狄奥弗拉斯特(Theophrastus)在公元前371至公元前285年所著《石头志》被认为是古希腊最早的地质专著,但它记载的矿物仅16种,把这些矿物分成金、石、土3类,而与其同时代或稍晚的《山经》所记的矿物种类是它的5倍,分类更细。《山经》还注意到矿物的共生现象,记述了根据硬度、颜色、光泽、透明度、构造、敲击声、医药性等来识别矿物的方法,并详细记述了动植物的形态、性能和医疗功效,因此《山海经》在矿物学分类上有突出贡献。英国李约瑟说:“《山海经》是一个名副其实的宝库,我们可以从中得到许多古人是怎样认识矿物和药物之类物质的知识。”

《山海经》是我国最古老的一部地理书籍,也是世界上最古老的地理书籍。《山海经》又是我国现存书籍中保存古代神话资料最多的一部作品。《山海经》中所记神话不仅数量最多,而且大多比较原始,情节比较完整的也有不少,这在先秦古籍乃至后世典籍中都是少有的。它在神话学、宗教学上具有重要研究价值,同时,对于古代历史、物产、医药等方面也有重要的科学价值。

最早的采矿技术最早的探矿理论

我国考古工作者在广州市郊区的樵山,发现了一座距今5000多年的“矿洞”,矿坑的深度达37米以上,矿洞内壁上有大面积火烧过的痕迹,地面上有大量的炭屑和爆裂的矿石块。经过考古学家研究,原来,这是新石器时代的一种采矿方法:他们先用火将石头烧热,然后再用水浇,利用“热胀冷缩”的原理开采矿石。这种方法中国人从5000年前沿用到现代,被认为是一种省钱省时的好方法,在世界的矿业史上也是一个创举。

江西瑞昌的商周古矿井是全世界最早使用先进的“木支护”进行深井开采的矿井。它同近代的矿井一样,已经使用了用“坑木”、“制造”、“顶梁”、“立柱”、“地狱”等组合而成的框式“顶棚”安全支护技术,并利用凿井的高低解决了通风问题。挖掘工具有青铜做的斧、铖、凿等,翻土工具有木锨、木铲等,装载工具有竹筐、畚箕等,提升工具有木轳辘、钩、绳等,选矿工具有带活动挡板的“分节水冲选矿木溜槽”等,这是世界上最早、最先进的深井采矿技术。

利用炸药开矿是近代矿业的一大特点。中国是发明火药的国家,中国的“火药爆破”采矿技术在明朝时就已经开始了。而在世界上一直到19世纪,才被美国的路易斯安那州与得克萨斯州的大型矿井所采用,比中国要晚了400多年。

利用矿苗、矿物的共生关系及上下关系找矿。春秋战国时期,青铜器、朱砂、水银、铁器的使用,是人们认识矿物种类增多的具体体现,同时也说明利用露头找到的矿的种类在迅速增多。《山海经》中所记矿物,多数是矿物的露头,即矿苗,如《南山经》中记载,招摇之山“多金玉”,堂庭之山“多水玉,多黄金”。战国时期的《管子·地数篇》记载了利用矿物的共生关系及上下关系找矿,如:“山,上有赭者,其下有铁;上有(是“铅”的异体字)者,其下有银;一日上有者,其下有鉒银;上有丹砂者,其下有鉒金;上有慈石者,其下有铜金。此山之见荣者也。”又说:“上有丹砂者,下有黄金;上有慈石者,下有铜金;上有陵石者,下有、锡、赤铜;上有赭者,下有铁。此山之见荣者也。”所谓“山之见荣”,就是矿苗的露头。现代地质学家夏湘蓉等把它们归纳成六条,称作“管子六条”:第一,山上有赭,其下有铁;第二,山上有磁石,其下有铜金;第三,山上有铅,其下有银;第四,山上有丹砂,其下有黄金;第五,山上有陵石,其下有铅、锡、赤铜;第六,山上有银,其下有丹。“管子六条”包括铁、铜、锡、铅、金、银、汞7种金属矿产,分组说明它们的上下关系,是西汉以前找矿采矿实践中得出的经验总结。

利用指示植物找矿。在南北朝的梁代出现了著名植物找矿著作——《地镜图》。《地镜图》原书已佚,现在只能从后人的引文中看到它的部分内容。它的主要观点是把地下的矿床和地表的植物联系起来,是现代指示植物找矿或生物地球化学找矿方法的肇端,是一个很有科学价值的新创见、新理论。当然,这个新理论也是逐步产生的,并不是突然出现的。往上追溯,我们发现,《荀子·劝学篇》就说过:“玉在山而草木润”,首次提出了山上赋存的矿物和周围植物生态有关的思想。晋张华《博物志》也说,“山……有谷者生玉”。到《地镜图》,内容就大大充实了。书中说道:“二月中,草木先生下垂者,下有美玉。五月中,草木叶有青厚而无汁,技下垂者,其地有玉。八月中,草木独有枝叶下垂者,(下)必有美玉。有云,八月后草木死者亦有玉。十二月中,草木独有枝叶垂者,下有美玉。山有葱,下有银,光隐隐正白。草茎赤秀,下有铅;草茎黄秀,下有铜器。”唐代段成式(?~863年)对它作了初步的整理,说:“山上有葱,下有银;山上有薤,下有金;山上有姜,下有铜锡;山有宝玉,木旁枝皆下垂。”(《酉阳杂俎》卷十六)这些记载,不一定完全和实际相符,但是他所指出的利用指示植物找矿的方向是对的。

对中国古代利用指示植物找矿理论的发明和发展,英国科学史家李约瑟曾经作过恰当的评价,他说:“中国人在古代所进行的观察,确实可以说是仍在迅速发展中的、范围十分广阔的现代科学理论和科学实践的先驱。”

《尚书·禹贡》

《禹贡》是《尚书·夏书》中的一篇,“禹别九州,随山浚川,任土作贡”,是说大禹划分九州疆界,顺山势疏通河道,依土地肥瘠制定贡献田赋等级的办法,所以称作《禹贡》。《禹贡》全文约1200字,由“九州”、“导山”、“导水”和“五服”4部分组成,它是中国现存最早的一部全部性区域志。

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