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第24章 五家共井

我国最早提出不定方程问题,它由“五家共井”引起。古代,没有自来水,几家合用一个水井是常见的事。《九章算术》一书第8章第13题就是“五家共井”问题:

今有五家共井,甲二绠不足,如乙一绠;乙三绠不足,如丙一绠;丙四绠不足,如丁一绠;丁五绠不足,如戊一绠;戊六绠不足,如甲一绠。如各得所不足一绠,皆逮。问井深、绠长各几何!

用水桶到井中取水,当然少不了绳索,“绠”就是指“绳索”。原题的意思是:

五家共用一水井。井深比2条甲家绳长还多1条乙家绳长;比3条乙家绳长还多1条丙家绳长;比4条丙家绳长还多1条丁家绳长;比5条丁家绳长还多1条戊家绳长;比6条戊家绳长还多1条甲家绳长。如果各家都增加所差的另一条取水绳索,刚刚好取水。试问井深、取水绳长各多少?

虽然该问题是虚构的,它是最早的一个不定方程问题。

用现代符号,可设甲、乙、丙、丁、戊各家绳索长分别为x、y、z、u、v;并深为h。

根据题意,可得

2x+y=h,

3y+z=h,

4z+u=h,

5u+v=h,

6v+x=h。

这是一个含有6个未知数、5个方程的方程组。未知数的个数多于方程个数的方程(或方程组)叫不定方程。

用加减消元法可得

x=265721h,y=191721h,z=148721h,

u=129721h,v=76721h。

给定h不同的数值,就可得到x、y、z、u、v的各个不同的数值。只要再给定一些特定条件,就可得到确定的组解。原书中只给出一组解,是最小正整数解。

我国古代数学家在《九章算术》的基础上,对不定方程作出了辉煌的成绩。“五家共井”问题是后来百鸡术及大衍求一术的先声。

“五家共井”问题,曾引起世界上很多数学家的注视。在西方数学史书中,把最早研究不定方程的功绩归于希腊丢番都。其实,他在公元250年左右才研究这些问题,要比我国迟200多年。

公元6世纪上半期,张丘建在他的《张丘建算经》中有一个百鸡问题:今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏生,值钱一。凡百钱,买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何?

意思是,如果1只公鸡值5个钱;1只母鸡值3个钱;3只小鸡值1个钱。现用100个钱,买了100只鸡。问公鸡、母鸡、小鸡各多少?

设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z只,则可得不定方程消去z不难得出

5x+3y+13z=100

x+y+z=100

消去z不难得出

y=7x4

因为y是正整数,所以x必须是4的倍数。

设x=4t,则y=25-7t,z=75+3t

∵x>0,∴4t>0,t>0;

又∵y>0,∴25-7t>0,t<347

故t=1,2,3。

∴原方程组有三组答案:

{x=4,y=18,z=78 {x=8,y=11,z=81 {x=12,y=4,z=84

数学史家评论说,一道应用题有多组答案,是数学史上从未见到过的,百鸡问题开了先例。《张丘建算经》中没有给出解法,只说:“术曰:鸡翁每增四,鸡母每减七,鸡雏每益三,即得。”意思是:如果少买7只母鸡,就可多买4只公鸡和3只小鸡。因为7只母鸡值钱21,4只公鸡值钱20,两者相差3只小鸡的价格。只要得出一组答案,就可推出其余两组。但这解法怎么来的?书中没有说明。因此,所谓“百鸡术”即百鸡问题的解法就引起人们的极大兴趣。

稍后,甄鸾在《数术记遗》一书中又提出了两个“百鸡问题”,题目意思与原百鸡问题相同,仅数字有所区别。到了宋代,着名数学家杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中,也引用了类似的问题:

“钱一百买温柑、绿桔、扁桔共一百枚。只云温柑一枚七文,绿桔一枚三文,扁桔三枚一文。问各买几何?”

到了明清时代,还有人提出了多于三元的“百鸡问题”。不过,各书均与《张丘建算经》一样,没有给出问题的一般解法。

7世纪时,有人对百鸡问题提出另一种解法,但只是数字的凑合。到了清代焦循在他的《加减乘除释》一书中指出其错误。之后,不断有人提出新的解法,但都没有完全得到普遍解决此类题目的通用方法。例如丁取忠在他的《数学拾遗》中给出一个比较简易的解法:先设没有公鸡,用100个钱买母鸡和小鸡共100只,得母鸡25只、小鸡75只。现在少买7只母鸡,多买4只公鸡和3只小鸡,便得第一组答案。同理可推出其余两组。直到19世纪,人们才把这类问题同“大衍求一术”结合起来研究。

百鸡问题是一个历史名题,在世界上有很大影响。国外常见类似的题目。

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