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第12章 世界上最古老的数学巨著

第十一章世界上最古老的数学巨著:《几何原本》

2000多年前的数学著作,至今还作为范本在世界各地的中学里传授,如此地位牢固经久不变

,就惟有欧几里得的《几何原本》了。此书自从公元前3世纪问世,就长期作为几何学的第

一教科书,世界各地用各种文字出版了它的上千种版本,注释诠解性文章不计其数,其流传

之广、影响之深,不亚于基督教的《圣经》。

数学学派集大成作

欧几里得约生于公元前365年,生平事迹已难以考证,曾投学于柏拉图门下,而后生活和工

作于埃及的亚历山大城。

《几何原本》这部如此辉煌巨著,其出现并非偶然,公元前3世纪的亚历同大城是当时地中

海东部的经济、科学与文化的中心,这里建有称誉世界的藏书70万卷的图书馆,以及博物馆

、实验室、天文台等文化科学设施。当时有大批数学家在亚历山大工作,他们的一些独创性

著作,直到今天仍然闪闪发光。其中,应托勒密一世之邀,前来亚历山大城主持数学学派的

欧几里得,便是一位“集大成”式的杰出数学家。

在此之前许多人为他作出了大量的前驱工作。首先是古埃及人在年复一年的重新测量洪水泛

滥过的土地过程中积累了丰富的土地测量知识,而后古希腊数学家对这些几何知识进行了初

步的整理。最早的古希腊数学家泰勒斯约在公元前600年开始了对数学命题的证明,使几何

能成为一门演绎的科学迈出了第一步。接着毕达哥拉斯用数来解释一切,将数学从具体的事

物中抽象出来,建立了一些数学的理论,发现了勾股定理、不可通约量,为早期几何学增添

了不少内容。随后的欧多克斯学派创立了比例论,用公理法建立理论,使得比例也适用于不

可通约量,扩大了几何学的应用范围。数学也得到了古希腊哲学家们的重视,柏拉图特别强

调数学在训练智力方面的作用,他的学园大门上写着:“不懂几何学者不得入内”。柏拉图

和亚里士多德等人还发展了与几何学密切相关的形式逻辑。在柏拉图对概念、推理与判断的

研究基础上,亚里士多德建立了三段论演绎法,对同一律、矛盾律和排中律作出了明确的表

述。所有这些工作都为欧几里得撰写《几何原本》铺平了道路。

欧几里得发奋研究,辛勤工作,约在公元前330年至前320年间,写成了数学巨著《几何原本

》,在前人的基础上建立起了一个体系严谨、论述精辟的几何学大体系。

欧几里得《几何原本》的原稿早已失传,现在看到的各种版本都是根据后人的修订本、注释

本和翻译本重新整理出来的。流传最广的版本是4世纪末的泰恩所做出的《几何原本》修

订本。最接近原著的版本被认为是19世纪初在梵蒂冈图书馆发现的希腊文手抄本。根据1842

年至19世纪末的统计,《几何原本》用各种文字已经出版了1000多种版本。有些版本的末尾

增添了两卷内容,因此《几何原本》又有15卷之说。

第一部的《几何原本》中文译本是根据德国数学家克拉维斯的注本翻译的,由传教士利玛窦

口译,徐光启笔受,只译出前6卷,1607年在北京刻版出版。200多年后,清末数学家李善兰

与英国人伟烈亚力通力合作,才把《几何原本》后9卷全部译出,并于1858年出版。

《几何原本》数学全书

欧几里得著的《几何原本》共13卷,内含119个定义、5条公设和5条公理,前后推出467个命

题。它重点论述几何学,也有部分篇章专门论述数论、无理量等问题,纵观全书,无疑它是

当时的数学全书。

《几何原本》从卷一到卷四主要论述平面几何直线形与圆的有关命题。卷首先给出若干定义

、公设和公理,然后逐条展开命题的论述与证明。部分内容是前人经验的精心总结,如:“

命题47,在直角三角形里,对着直角的边上的正方形等于夹着直角的两边上的两个正方形之

和”。“命题48,在三角形内,如果一边上的正方形等于其他两边上的正方形之和,那么其

他两边所夹的角必为直角”。这即是毕达哥拉斯定理(勾股定理)的正命题与逆命题。有些内

容则是作者本人的创举,如著名的第五公设:“若一直线与两直线相交,且若同侧所交两内

角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”。许多命题至今仍是中学几

何的定理或定则,如:“命题4,若一个三角形的两边和它们的夹角相应地等于另一个三角

形的两边和其夹角,则这两个三角形全等。”

卷五专讲比例理论,适用于可公度的量或不可公度的量。用比例理论把几何学置于坚实的基

础之上是古希腊数学的突出成就,该卷内容尽管是在前人欧多克斯工作的基础上展开的,但

欧几里得最早对比例理论进行系统的安排与证明,其贡献是巨大的。

卷六讲相似图形。如:“命题1,等高三角形面积之比等于它们底长之比”。“命题19,相

似三角形面积之比等于它们对应边之比的平方”。“命题31,直角三角形中,对着直角的边

上图形的面积等于夹着直角的两边上的相似图形面积的积”。命题31,实际上就是勾股定理

的扩充。

卷七至卷九讨论整数的性质和整数的比,属于初等数论内容。在这部分里,欧几里得用线段

代表数,以矩形面积代表两数之乘积来展开论述。如:“定义16,两数相乘所得的数称为平

面,它的边长是原来的两数”;“定义17,三数相乘相得的数称为立体,它的边长是原来的

三个数”。许多数论的命题是相当严谨的,如卷九“命题14,如果一个数是能被几个素数除

尽的最小的数,那么除了这几个素数之外,再也没有其他的素数能够除尽那个数了”。

卷十研究不可公度量的、涉及直线的可公度量与不可公度量的关系。主要研究可用a±b(a,b是两条可公度的直线)表示的各种直线。如:“定义4,已知直线上的正方形是可比的,任何与它可公度的面积是可比的;任何与它不可公度的面积是不可比的,并且它们的边长的度亦是不可比的。”

卷十一至卷十三讨论立体几何学,包括直线、平面、直线与平面间的关系、平面与平面间的

关系、多面角、相似立体、柱、锥、台、球,以及正多面体等内容。

几何公理权威巨著

欧几里得将前人生产实践中和科学研究中长期积累的几何知识,加以整理总结,形成演绎体

系,写出了历史上理论严密、系统完整的第一部数学著作《几何原本》。

《几何原本》过去一直以手抄本的形式流传,几个世纪中,许多数学工作者对它进行了大量

的注释和评论。尽管欧几里得受当时重理念、轻实践的哲学思想的影响,《原本》中全部是

象的定义、公理和定理,没有解决实际问题的内容,但由于它有严谨的理论体系,因此在数

学教育和数学研究上仍然受到人们的重视。12世纪以后,《几何原本》被采用为大学教材。

公元1500年左右印刷术出现后,这部著作迅速大量翻印,出现了1000多种版本,其发行数量

与传播之广,仅次于《圣经》,成为西方世界历史上翻版和研究最多的书。在17、18世纪,

欧几里得的著作是西方数学教学的基础。《几何原本》曾长期“牢牢”地控制了几何教学,

以致于瑞典诗人G·M·贝尔曼写道:“甚至到现在一想到欧几里得……我都得擦擦满是汗水

的前额。”

在历史上,对《几何原本》的这么多的赞誉给欧几里得几何体系树立起极大的权威,以至于

欧氏几何的一些缺点都被视而不见,或者是信而不疑。例如对于欧几里得的第五公设,许多

数学家早已认为不妥,历代试图对它作出更确切的证明,一一失败之后仍是不敢怀疑它的可

靠性。直到19世纪初叶,被誉为“数学王子”的高斯已经暗中探索出第五公设截然不同的几

何方法,但他还是不敢发表,而害怕被人骂成是亵渎经典的“疯子”。

19世纪,对欧几里得第五公设的扬弃终于引起了几何学的大革命。俄国数学家罗巴切夫斯基

勇敢地站出来,宣布用新的平行公设取代第五公设,从而开创了新的几何学——罗氏几何。

而后又有黎曼几何的诞生,它们通称非欧几何。

非欧几何的出现激起人们对几何学研究的更大热情。数学家经多方研究之后发现,非欧几何

并没有完全否定欧氏几何,非欧几何更适用宇宙大尺度的物质世界,而在日常小范围空间的

件下,欧氏几何已经是足够精确的。19世纪末,德国数学家希尔伯特对《几何原本》作了精

心的提炼,使欧几里得几何公理体系更加完善。直到今天《几何原本》中的部分精华,仍然

是数学教学中培养学生逻辑推理能力必不可少并有独特作用的内容;人们在造房、建桥、修

路等生产实践中,运用欧几里得几何学能比较准确地求得需要进行计算的结果。在我国,最

早的《几何原本》中译本,是明末政治家、科学家徐光启翻译的,徐光启认为对此书“不必

疑,不必揣,不必试,不必改”,“欲脱 之不可得,欲驳之不可得,欲减之不可得,欲前

后置之不可得”,给予了高度的评价。当然,随着生产与科学的发展,现在人们对数学的研

究,已经有了飞跃的进步,无可否认,产生于2300年前古老的《几何原本》,至今仍还有着

它极其旺盛的生命力。

《几何原本》直到20世纪初始终还是世界各国的中学数学教科书,仅此一点,可想这本数学

名著在其领域和教育上的价值、地位和作用了。

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