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第32章 分工理论与博弈论 (2)

第八章分工理论与博弈论 (2)

“不错,”狐狸道,“决策无论如何改动,其改动部分都只会带来损失。这反映到导数上……”

“可是极值时一阶导数(一阶导数:函数值在某点随自变量变化的变化率。)为零,按你刚才所说带走利益,其导数当为负数才对。”绛仙还是不解。

“呵呵,听我说完么,”狐狸笑着摇头,“一阶导数为零,那是因为这个改动太微小了,无法在一阶导数上反映出来,但是你看二阶导数二阶导数:一阶导数在某点随自变量变化的变化率。不就是负的了?如果改动比较大的话,你用结果的变动去除以决策的变动,一下子便是负的了,这其实便是一阶导数的表达。”

看到绛仙不再困惑,狐狸接着说道:“一阶二阶的问题,其实就是泰勒公式展开。呵呵,不过这个姑娘懂不懂都没关系,大致原理我已说清楚了。”

“蚁兄刚才所说决策改变时,只能带走利益,此时便是极值。实在是说到了核心。”

“杨之角点解,因在约束边界上,故即便函数连续,其一阶导数也不为零,然而这边际分析的思想却没有改变:在角点解的约束边界上,决策(自变量)些许变动,必定带来损失。而且因为此时一阶导数不为零,所以此损失一般更要大得多。”

“现再推广到离散点的情况。譬如对策问题的纳什均衡,其定义是没有人独自改变决策来使自己的境况更好。你看这其实岂不是说,决策的改变部分,带走了利益?所以这也是边际分析来求极值,只不过这个边际的数量级远远大于微分罢了。”

“事实上,所谓边际,便是题设许可的最小度量单位。这个度量单位在连续函数中是微分,在离散点中,便是一个一个的具体数值。”

“我好像有点明白了,”绛仙眉头稍有舒展,“那便是说边际也好,超边际也好,或者是博弈论中的纳什均衡也好,其实在数学意义上,并无根本区别。”

文书却是很不服气:“姑娘所说倒是轻巧,那博弈论何等高深,在今日之中土,能懂此门功夫者,亦不过三个半人,姑娘怎敢说此大话?”

蚂蚁点头称是:“天下武学,本异曲同工,说起来这比较优势理论的渊源,虽是《国富论》,但其理论基础,却是博弈论,那杨小凯的《原理》一书倒有大半本是讲这些。”

绛仙一时面红耳赤。

狐狸不动声色,淡淡笑道:“博弈论此门武学,在下闲暇休息之间,也曾偶尔翻过,果然艰深。但细瞧之下,却觉得那艰深之处,原不是在博弈论本身,却是那些作者未能把此弄得精熟。便是再简单不过的道理,也被著者写得零零碎碎,搞得乱七八糟,花样百出,却是可叹!”

蚂蚁有些尴尬,疑道:“这博弈论博大精深,概念定理何止几十条,博弈方法更是数不胜数,单单一个均衡概念,便有占优均衡、纳什均衡、子博弈精炼纳什均衡、贝叶斯纳什均衡、序贯均衡、颤抖手均衡等(占优均衡、纳什均衡、子博弈精炼纳什均衡、贝叶斯纳什均衡、序贯均衡、颤抖手均衡:他们分别是博弈论均衡的一种。在后面的文章中大部分会进行解释。)不下十几种;论其发展,其自身获得诺贝尔奖不论,今年那得诺贝尔奖的非对称信息理论,亦不过是博弈论的一个小小模型而已。”

“就是!”那文书又插嘴进来,“以前见面打招呼,人们都说,你吃过了吗?今年见面打招呼,人们都说,你知道非对称信息吗?谁要没有这样问,他便一定是乡下来的!”

狐狸乐了:“这些不过是花架子糊弄人尔,有何惧哉!”

那蚂蚁一直在旁边袖手微笑,待到此时,方才向狐狸说道:“狐兄豪气干云,小弟十分敬佩,倒想领略一番。”

狐狸笑道:“不知蚁兄是要下里巴人还是要阳春白雪?”

蚂蚁奇道:“下里巴人又如何?阳春白雪又如何?”

狐狸缓缓说道:“下里巴人,至俗也,便是那乡间七旬老母,犹能听得手舞足蹈,击节而歌。却可惜譬如那山溪之水,来势汹汹,去也匆匆,入骨不过三分矣。”

“那阳春白雪,又当如何?”

狐狸道:“夫阳春白雪也,一望无垠,恰似大海潮生,初时广袤沉静,星光点点,不觉有异。然细心听处,远方隐隐似有天籁之音,像那闷雷滚过,却又悠扬有如长笛呜咽。待到听得更是真切之时,又有冰河破碎,清泉下流,入小河,汇大江,浩浩荡荡,终归大海,成了万丈涛声,千年不绝。”

蚂蚁叹道:“怎信世间能有如此神奇之学问。你且先让我们听听那下里巴人罢!”

狐狸道:“博弈便是赌博。”

绛仙不满道:“我说不准赌博的!”

蚂蚁摇手道:“姑娘莫恼,刚才既是我说要下里巴人,才有赌博这些鄙陋之事,须不要怪狐兄。”

狐狸宛尔笑道:“姑娘也可把它看作打架。博弈之要义,先要知你是谁,要看你出手,然后我的还手必要是最有利自己。此为最基本也。”

“然高手过招,赢在料敌机先。纵然彼先出手,但既知我是谁,故出手后,必要想以我之能,当如何还手。彼出招与我还招,构成一个局面,非但可定我之生死,亦可以定彼之生死。彼必要选择对其最有利的局面为先着。是故彼未出手,我已知其意矣。”

“那也未必!”绛仙插嘴道,“我可以用对方从来没有见过的天山折梅手,对方防不胜防,便无从计算得失了。”

“姑娘莫急,”狐狸道,“博弈论中,什么样的人用哪些招数,都是事先假定好的,也是大家各方都知道的,而且大家都知道大家知道的,却不允许你弄些稀奇古怪的旁门左道来捣乱。”

“狐兄之意我已知之,”蚂蚁沉吟道,“于我方,最想知道的是对方如何出手,只要确定对方的招数,我便可以在此前提下选择于自己最有利的应对措施,得到一个我的盈利函数。然而对方也能想像到我盈利函数最大化下的出招,并因此计算他自己的所得。对方所出招必定是能使他盈利最大的招数。”

“所以我便可知对方如何出招,对方也知我会如何应对。我若不如此应对,必定吃亏;对方若不如此出招,必定不能使其利益最大。”

“Nod,”狐狸点头,“这些招数的组合,便成为了一条均衡路径。”

“但凡事总要未雨绸缪,难保中途哪个出错,出了一个对他自己不利的臭招,你下一招也得针对新情况,解决新问题。”

“所以,对于局中人任何招数,无论香臭也罢,如果真的发生了,我们就要根据前面蚁兄说的原则重新计算出招和应招。但是我们只朝前看,不算旧账。”

“如果每一个回合的每一招(无论这一招的出现如何愚蠢)我们都想好了其后的最佳出招和应招,即任何招数的出现,其后都有均衡路径;而最长的那条均衡路径,为整个博弈的均衡路径。那么,我们就算完事大吉,高枕无忧了。”

但文书还是不服气:“你这个总是分了出招的先后顺序,所以别人出后你可以悠然地选择自己最优的。倘若你们都是同时出招,你看到对手出招时,你的剑也已经刺出,变不了招,岂非全都乱了套?”

狐狸笑道:“文书想得周到。不过这个虽原理与前无异,倒也不好用话来说,且先等它一等。”

“狐兄总是这么刚愎自用,”绛仙幽幽地叹口气,“俗话说,画虎画皮难画骨、知人知面不知心。你怎么就一定知道对方是什么人?”

狐狸的心不觉颤了一下,因为很久以前自己也曾这般叹过,故而听来分外熟悉。

不过这好比微风吹起的一丝涟漪,很快就从水面的这边,掠过水面的那边,然后就消失了。

狐狸道:“按博弈论的要求,我们即便不知道对方一定是什么人,但却知道他属于哪一类人的概率。譬如是好人的概率是2/3,坏人的概率是1/3。能够知道这个,我们也可以作出选择了。”

“但是……”绛仙欲言又止,因为她想到了1/3的那种可能,所以她并不满意狐狸的这个回答。但是她知道这已经是最好的回答。所以也不再问。

狐狸笑着把眼睛从她身上扫过。

“先前我们知道博弈中每个人是什么类型,然后我们可以算出每个人的盈利函数,每个人的决策,便是根据这盈利函数来的。现在我们只知道每个人属于哪个类型的概率,也还是一样按照刚才的步骤进行,只不过盈利函数成为数学期望值罢了。无论先出招还是后出招,都是一样希望自己的盈利期望最大。”

文书嚅嗫道:“这个数学期望……”

狐狸乐了:“大二数学便有这些东东,文书缘何记不得了?譬如你有1/3的可能得到9元钱,有2/3的可能得到18元钱,那你可能得到钱的数学期望是15元(即9×13 +18×23 =15)。一个量乘以自身的概率,便是数学期望。”

说到这里,狐狸不觉朝蚂蚁望了一下:“现在所说,虽力图下里巴人,但……”

蚂蚁已知其意,挥手道:“下里巴人也不应是文书这样的幼儿园水平,概率的起码意义要懂!”

“换言之,”蚂蚁笑道,“即便国人素质低,狐兄要说的,也至多是阳春白雪,未可算是艳阳高照。在下还听得懂,尽管放心地说下去。”

狐狸摇头道:“我要说的,就要说完了。现在我们在每个局中人的类型、每种类型局中人的各个招数上,都各假设一个概率,这些概率假设可全用符号来表示未知量,他们可以代表小数,可以代表0,也可以代表1。”

“但是引入这些符号之时,便要这些符号之间满足概率上的约束,譬如归一化约束。作为代数式,这种约束是可以满足的。”

“此时,局中人选择策略,实质上便是计算概率。概率为0,便不选此策略;概率为1,便一定选此策略;概率若为小数,则为混合策略。”

“令μa,μb,μc……为A,B,C……决策顺序中局中人所属类型的概率向量(各个决策顺序的局中人可同可不同,但我们只把顺序作为区分标准),βa,βb,βc……为分布在相应局中人各招数上的概率向量。注意,这儿μa,βa等都是向量,譬如μa=(μ?a1?,μ?a2?……μ?an?)”

“由此可以列出依照A,B,C……的先后次序决策时,各人的盈利代数式:

Ua=fa(μa,μb,μc……;βa,βb,βc……βn)

Ub=fb(μa,μb,μc……;βa,βb,βc……βn)

……

Un=fn(μa,μb,μc……;βa,βb,βc……βn)”

“现在先不考虑出招较早的那些人,首先考虑最后一个决策者,他当取β*n使得U?n=maxfnβn (μa,μb,μc……;βa,βb,βc……βn)的β*n策略。此时,β*n可以表示为μa,μb,μc……;βa,βb,βc……β?n-1?的函数式。因此可得(n-1)个决策者的盈利式为:

U??n-1?=maxf?n-1?β?n-1? (μa,μb,μc……;βa,βb,βc……β?n-1?)

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