第三十二章第二节由“苏格拉底的死因”说起
西方哲学大师苏格拉底之死，是对阿罗不可能定理的绝佳证明。苏格拉底是一个在西方文化中的天才人物。苏格拉底因言出名，也因言获罪。据史书记载，对获罪的苏格拉底进行判决的公民大会也经历了初审和复审，初审中500个公民进行了投票，结果是280票对220票判处苏格拉底有罪。复审是决定苏格拉底是否该判死刑，复审之前，苏格拉底曾为自己脱罪进行辩护，希腊民众不仅没有被苏格拉底的口才所征服，反而被激怒，结果以360票对140票判处苏格拉底死罪。
这就是希腊的民主。这种民主，是被认为比现代西方民主更为先进的民主形式。但是，这种先进的民主，把一个对西方社会作出巨大贡献的巨人碾作了尘土。
阿罗不可能定理，是博弈论里一个毁灭性的发现，它打破了那些被人们认为是真理的观点，也让我们对公共选择和民主制度有了新的认识。
首先，多数不一定正确，至少有时，真理是掌握在少数人手里的。
其次，民意容易受到操纵和利用，希特勒正是通过运用蛊惑人心的本领使自己成功上台的。
最后，民主并不像卢梭所说的那样足以达到“公共意志”，它最大的积极之处是如波普尔所言的防止“最坏”情况的发生。因此，它的天然合理性是有限度的。
现在全世界的学者们——数学的、政治的、哲学的和经济学的——都在试图挽救阿罗的这个毁灭性发现中能够挽救的东西。对数学来说，这一发现就是1931年库尔特?哥德尔的数学逻辑的不可能证明一致性定理。著名经济学家萨缪尔森说，如果说世界上真正懂得相对论的人只有12个是句夸张的话，那么，说世界上真正懂得阿罗不可能定理的人不到12人，倒是一个不争的事实。
在数学上，人们已经证明，以投票的多数规则来确定集体的选择会产生循环的结果，这就好像一只狗在追自己的尾巴，会没完没了地循环下去。结果，在这些选择方案中，没有一个能够获得多数票通过，这就是孔多塞投票悖论折射出民主制度固有的难题，所有的公共选择规则都难以避开这种两难境地。
北京1992年开始申请主办2000年奥运会的工作。申办奥运会的投票规则是逐步淘汰制，具有投票权的委员在参加申请的城市里进行投票，得票最少的城市便被淘汰。前两轮投票中北京一直领先。经过两轮投票，最后剩下3个城市：德国的柏林、澳大利亚的悉尼以及中国的北京。在第三轮投票时，北京获得最多的票，悉尼第二，柏林第三。
这一轮投票结束后，柏林被淘汰。如果这是最后一次投票，北京就获胜了。但问题是还得再投一次票。在北京与悉尼角逐时，北京肯定会再次获得胜利吗？
事实是，北京输了，悉尼获得了2000年奥运会的主办权。为什么会这样？原来支持柏林的投票者大多数转而支持悉尼。这就是悉尼获胜的原因。
由此看来，民主投票不能得出唯一的结果，其选举结果取决于民主投票的程序安排以及每次确定的候选人的多少，即投票规则。不同的投票规则将得出不同的选举结果。这就是说，民主投票有内在的缺陷。
